37. Дана система векторов $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \ldots, \boldsymbol{g}_{n}$, приложенных в точках $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ (различних пли совпадэюпих); моменты эти: векторов относптельно обпего полюса $P$ обозначим соотьетственно через $H_{1}, M_{2}, \ldots, M_{n}$. сительно почки $P$ называют вектор $M$, представляющий сумау моментов отдельных векторов:
\[
M=M_{1}+M_{2}+\ldots+M_{i}=y_{i}^{n} M_{i} .
\]

Точка $P$, относительно которой взяты все момекты $M_{i}$, называетея полюсом или центром приведения системы векторов. Отметим следующую теорему:

Если все вектори системы ириложени в обией поике $A$, то главный момент системы всегда совпадает с моментом сунми всех данных векторов, приложенной о точке $A$ (теорема Вариньона) ${ }^{1}$ ). В самом деле, если обозначим через $R$ сумму всех векторов $\boldsymbol{r}_{i}$, то в силу определения полярного момента, с одной стороны, и по свойству дистрибутивности векторного произведения, сдрутой стороны, каков бы ни был центр привевения $P$,
\[
M=\sum_{i}^{n} M_{i}=\sum_{i}^{n}\left[\overline{P A} \boldsymbol{v}_{i}\right]\left[\overline{P A} \sum_{i=1} v_{i}\right]=[\overline{P A} R] .
\]
33. Рассмотрпм сдова систему приложенных векторов общего положенил $\left(A_{1}, \boldsymbol{v}_{1}\right),\left(A_{2}, \boldsymbol{v}_{2}\right),\left(A_{3}, \boldsymbol{v}_{3}\right), \ldots,\left(A_{n}, \boldsymbol{v}_{n}\right)$; пусть $r$ будет произвольпая ориентированная прямая.

Припомним (рубр. 13), что сумма нескольких векторов имеет компопентой (по отношению к любой ориентированпой оси) сумму компонент слагаемых векторов. Вследствие этого из предыдуще рубрики пепосредственно вытекает, тто компнента по направлению $r$ главного момента системы по отношению к любой точке $P$ прямой $r$ равна сумме моментов по отношению к оси $r$ всех векторов систомы.

В связи с этим нужно считапь оправдиним следующее определение: результирующим или главны моментом систели приложенных векторов относительно эриентированной ирямой $r$ называется алгебрапческая сумма жоментов относительно әтой оюі всех векторов системы, или, что то же, компонента относительно \” главного момента системы, взятого по отношению к любой точке прлмой $r$.

Если все векторы приложены в одной и той же точке $A$, то главный момент системы относительно любого полюса совпадает с моментом главного вектора относительно того же полюса; точно так же, главний момент спстемн относительно любой оси равен моменту главного вектора относительно той же оси.

В частности, если представим себе приложенный вектор $\boldsymbol{v}($ миг. 18) равложенным на две слагающие $\boldsymbol{v}^{\prime}$ и $\boldsymbol{v}^{\prime \prime}$-одну, перпендикулярнуо к прямой $r$, и другую, параллєльную ей, и имеющие с $v$ общее начало, то момент вектора $\boldsymbol{g}$ относительно $r$ совнадает с главным моментом системы, образованной приложенпими векторами $\boldsymbol{v}^{\prime}$ и $\boldsymbol{v}^{\prime \prime}$. Но так как момент вектора $\boldsymbol{v}^{\prime \prime}$ равен нулю (рубр. 36), то мы отсюда заключаем, что момент относительно
1) II. Зариньон (Pierre Varignon) родилея в Кано в 1664 г., умер в Парнже в 17:2 г. Приведемная в текете теорема сәдержитея в его посяертном труде \”Nouvelle mécanique ou statique\”, Paris 1725.

оси $r$ шриложенного вектора $v$ совпадает с моментом (конечно, относительно той же оси) его перпендикулярной к $r$ слагающей $\boldsymbol{v}^{\prime}$.
39. Изменение момента с перекеной центра приведения. Пусть $M$ и $M^{\prime}$ будут моменты одного и того же приложенного вектора $\boldsymbol{u}=\overline{A B}$ относительно двух различных полюсов $P$ и $P^{\prime}$.
IIо определению имеем:

но так как
\[
\begin{array}{c}
M=\left[\overline{P^{A}} v\right], M^{\prime}=\left[\overline{P^{\prime} A} v\right] ; \\
\overline{P^{\prime} A}=\overline{P_{A}}+\overline{P^{\prime} P},
\end{array}
\]

To
\[
M^{\prime}=[\overline{P A} v]+\left[\overline{P^{\prime} \bar{P}} v\right]
\]
T. e.
\[
M^{\prime}=\boldsymbol{M}+\left[\overline{\mathcal{P}^{\prime} P} \boldsymbol{v}\right] \text {. }
\]

Далее, пусть дана система шриложенных векторов $\left(A_{i}, \boldsymbol{v}_{i}\right)$ $(i=1,2,3, \ldots, n)$; положим
\[
\sum_{1}^{n} \sigma_{i}=P
\]

Если $M_{i}$ и $M_{i}^{\prime}$ суть моменты вектора $\boldsymbol{v}_{i}$ относптельно двух центров приведения $P$ и $P^{\prime}$, а и и $M^{\prime}$ – главные моменты системы относительго тех же центров приведения, то
\[
\overline{M_{i}^{\prime}}=M_{i}+\left[\overline{P^{\prime} P} v_{i}\right] ; \quad(i=1,2,3, \ldots, n) .
\]

Суммирул эти равенства, мы получаем, как и в случае одного ьектора, формулу:
\[
M^{\prime}=M+\left[\bar{P}^{\prime} P^{\prime} R\right] .
\]

Она, очевидно, допускает следующее толкованне: главный ломент системь относительно точни $P^{\prime}$ представляет собою сумиу аналоичного номента системь относительно точки $P$ и иомента относительно точкі $P^{\prime}$ главного вектора $R$, приложенного в точке $P$.

Пусть, в частности, точка $P^{\prime}$ совпадает с началом $O$ осей координат и пусть $M_{0}$ будет соствететвующий главный момент.

Обозначим через $M_{x}, M_{y}, M_{z}$ компоненты главного момента $M$, через $M_{o l x}, M_{o l y}, M_{o i z}$ – компоненты главного момента $\boldsymbol{M}_{o}$, через $x, y, z$-координаты произвольно выбранного полюса $P$ (вместо $a, b, c$ в рубр. 34) и, наконец, через $X, Y, Z$-компоненты главного вектора $R$.

Тогда из соотношений (30) и (20) легко і олучим следующие формулы:
\[
\begin{array}{l}
M_{x}=M_{o l x}-y Z+z Y \\
M_{y}=M_{o l y}-z X+x Z \\
M_{z}=M_{o l z}-x Y+y X .
\end{array}
\]

Из соотношения (30) сверх того вытекает: 1) при $R=0, M^{\prime}=M$; 2) чтобы момент $M^{\prime}$ совпадал с $M$, каков бы ни был полюс $P$, необходимо, чтобы $\left[\overline{P^{\prime} \bar{P}^{\prime}} R\right]=0$, каков бы ни был полюс $P$; а әто влечет ва собой (рубр. 21):
\[
R=0 .
\]

Отсюда вытекает, что для системы векторов, сумма которых равна нулю, главный момент не зависит от центра приведения. Если главный вектор системы $R$ (сумма векторов системы) отличен от нуля, то $M^{\prime}=M$ в том, и только в том случае, когда прямая $P^{\prime} P$ параллельна вектору $R$ (т. е. когда $\left[\overline{P^{\prime} P R}\right]=0$ ).
40. Инвариантиый трехчлен. Из соотношения (30) и из дистри. бутивности скалярного произведения вытекает тождество:
\[
\boldsymbol{M}^{\prime} \boldsymbol{R}=\boldsymbol{M} \boldsymbol{R}+\left[\overline{P^{\prime} P} \boldsymbol{R}\right] \boldsymbol{R} .
\]

Но, по определению векторного произведения вектор $\left[\overline{P^{\prime}} R\right.$ ] перпендикулярен к $R$, а потому
\[
\left[\overline{P^{\prime} \bar{P}} \boldsymbol{R}\right] \boldsymbol{R}=0^{1} \text { ), }
\]

а следовательно:
\[
M^{\prime} R=M R \text {. }
\]

Отсюда следует, что скалярное произведение
\[
M R=M_{x} X-M_{y} Y+M_{z} Z
\]

главного момента системь на ее главный вектор не зависит от центра приведения. Вследствие этого трехчлен $I_{x}^{\prime} X+M_{y} Y+M_{z} Z$ называют инвариантным трехиленож. Мы будем обозначать его для краткости буквой $T$.
41. Если главный вектор системы отличен от нуля и, следовательно, имеет вполне определенное направление, то компонента главного момента по направлению результирующего вектора не зависит от центра приведения. В самом деле, как бы ни был выбран центр приведения, из соотношения (15) руо́р. 20 следует, что
\[
M \cos \boldsymbol{R} \widehat{M}=\frac{T}{R},
\]

чем утверждение и доказывается.
Отметим еще, что кає из состношения (32), так и из общих свойств скалярного произведения (рубр. 20) вытекает, что в зависимости от того, будет ли $T>0$ или $T<0$, угол между главным вектором системы $R$ и ее главным моментом $M$ будет всегда острым либо всегда тупнм, как бы ни был выбран центр приведения.
1) Вообще если вектор $\boldsymbol{v}$ коллинеарен с одним из векторов $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$, то смешинное произведение $\left[\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}\right] \boldsymbol{v}$ обра:цаегея в нуль, нбо векторы $\boldsymbol{v}, \boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}$ в этом случае компланарны (см. рубр. 29 и 31). (Ред.)

Если, наконец, $T=0$, а $R$, как выше, предполагается отличным от нуля, то главный момент системы всегда остается перпендикулярным к ее главному вектору или же обращается в вуль, кає это в частных случаях может иметь место.
42. Центральная ось. Напеньший номент. Дана система векторов, главный вектор которой отличен от нуля; разыщем геометрическое место точек $P(x, y, z)$, по отношению к которым главный момент системы параллелен ее главному вектору $\boldsymbol{R}$ или, в частности, равен нулю. Задачу эту можно было бы решить геометрически, основываясь на соотношении (30). Но гораздо проще өто сделать, пользуясь аналитическия ее выражением. Выберем надлежащим образом оси координат, именно, возьмем ось $O z$ параллельной главному вектору $\boldsymbol{R}$ п обращенной в ту же сторону; тогда компоненты $X$ и $Y$ результирующего вектора обратятся в вуль, а компонента $Z$ совпадет с длиной $R$ главного вектора, которая, по условию, больше нуля. В соответствнп с этим формулы (39) примут вид:
\[
M_{x}=M_{o ! x}-y R, \quad M_{y}=M_{o ! y}+x R, M_{z}=M_{o^{\prime},} .
\]

С другой стороны, для точек пскомого геометричевко места комоненты $M_{x}$ и $M_{y}$ должны обращаться в нуль; это іриводит к уравнениям:
\[
\begin{array}{l}
M_{o ! x}-y R=0, \\
M_{o \mid y}+x R=0,
\end{array}
\]

которые дают для $x$ и $y$ постоянные значепия:
\[
x=-\frac{M_{o^{\prime} y}}{R}, \quad y=\frac{M_{o^{\prime} x}}{R} .
\]

Требуемое геометрическое место представляет собою прямую, параллельну о оси $z$ т. е. главному вектору $R$; эта прямая называется чентральной осью спстемы.
43. Припомния теперь, что компопента главного момента по ориентированному направлению глацного вектора не завиеит от центра приведения (рубр. 41). Отсюда ясно, что длина главного момента принимает наименьпее евое значение, когда момент становится параллельным главному вектору, т. е. когда центр приведения лежит на центральной оси. Эта наименьшя длина, называемая наименьиим номенои, совпадает с (постоянным) абсолютным значением момента по направлению гла!ного вектора; вследствие соотношения (32) она қмеет значение
\[
\frac{|T|}{R} \text {. }
\]

Поэтому, если инвариантный трехллен обращается в нуль, то равен нулю п главный момент системы относительно точек центральной осп.

44. Мы до сих пор предполагали, что главный вектор системы отличен от нуля. Если он равен нулю, то главный момент, как нам уже пзвестно, не зависит от центра приведения. В этом случае мы можем принять за центральную ось системы любую прямую, параллельную главному моменту. Мы можем, таким образом, при любой спстеме векторов говорить о ее центральной оси.