24. Взаимные положения центров кривизны двух сопряженгих профилей и мгновенного центра вращения связаны зұмечательной зависимостью, которую мы намерены здесь вив вести.

Рассматривая вновь некоторое плоское движение, обовнатим, как обыкновенно, через $F$-подвижную фигуру, через $l$ п $\lambda$ – полярные траектории и через $C$ и $\gamma$-какиелибо два сопряженные профиля (фиг. 62). На нашем рисунке изображены кривые і и $\gamma$ и для некоторого определенного положения фигуp: $F$ также кривые $l$ п $c$, соприкасающиеся с $i$ и $\gamma$ соответственно в мгновенном центре $I$ и в точке $M$.

Пусть IT п $I N$ будут касательная и нормаль, общие для траекторий $l$ и $\lambda$ в точке $I$; $M T^{\prime}$ п $M N^{\prime}$ пусть будут касательная и нормаль, ои́щие к сопяжениым профлям в точке $M$.

При движении фигуры $F$, вообще говоря, меняется относптельное положение этих двух пар ортогональных прямых IT, $I N$ и $M T^{\prime}, M N^{\prime}$, которые ми для краткости будем соответственно обозначать через $\Phi$ и $\Phi^{\prime}$.

Это движение мы можем рассматривать с трех различных точек зрения: 1) непосредственно, как оно происходит; 2) как образованное (переносным) движением профиля $c$ по отношени:

к $\Phi$ п (относительним) движением осей $\Phi^{\prime}$ относительно с; 3) как образованвое (переносным) движением профиля $\gamma$ по отношению к осям $\Phi$ и (относительным) пвикением осей $\Phi^{\prime}$ по отношению к $\gamma^{1}$ ).

Калдая из этих точек зрения, как мы увидим, приводпт к некоторому свойству положения мгновенного центра $J$ системы $\Phi^{\prime}$ относительно Ф. Сопоставления этих свойств, в свою очередь, непосредственно приводит к результату, который мы имеем в виду получить.
25. С первой точки зрения, мы непосредственно замечаем, что то’ка $J$ лежит на прямой $I T^{\prime \prime}$, проведенной через $I$ параллельно Mi’ $^{\prime \prime}$.

В самом деле, $M N^{\prime}$ представляет собой прямую, неразрывио связанную с Ф’; эта прямая, будучи общен нормалью к сопряженным профилям $c$ и $\gamma$, постоянно проходит через $I$. И так как I является некоторой определенной точкой $\Phi$, то мгновенный центр $J$ должен находиться на перпендикуляре к $M N^{\prime}$, или, что то же, на прямой, параллельной к $M T^{\prime}$ и проходяще через $!$.

Переходя теперь ко второй и к третьей точкам зрения, целесообразно припомнить соображения рубр. 22. Ірименяя сначала вторую точку зрения, заметим, что при движении осей $\Phi^{\prime}$ относительно с мгновенный центр вращения совпадает с центром кривизны $C$ кривой $c$; при движении же крввой $c$, которое совпадает с движением неразрывно связанной с ней кривой $l$ относительно осей $\Phi$, аналогичный центр совпадаєт с центром $C_{l}$ рулетты. Вследствие әтого в результирующем движении осей $\Phi^{\prime}$ относительно Ф мгновенны й центр вращения лежит на прямой $C C_{l}{ }^{2}$ ).

Исходя из третьей точки зрения, мы совершенно таким же образом заключаем, что точка $J$ лежит на прямой $\Gamma_{\lambda}$, где $\Gamma$ центр кривизны профиля $\gamma$, а $\Gamma_{\lambda}$ – центр кривизны базы $\lambda$.

Учитывая установленные таким образом три свойства точки $J$, мы прямо приходим к следующей теореме Савари ${ }^{3}$ ).

Так называемая формула Савари была, строго говоря, дана раньше Эйлером.
1) Когда речь идет о движении по отношению $\&$ кривой, то под әтим нужно, кочтно, разуметь динжение огноснтельно плоскости, поторая о этой кривой неразрывно свззана. (Peд.)
3) Чтобы оправдать это утвержденпе, заметим, что веякое состояние плоского движения (имеющего мгновенный дентр на конечном расетоянии) мотно рассзатривать, как вращение вокруг некоторой прямой, перпендниумярной п плоскости движення. Вследствие этого, когда два плоские двпжения происходит совместно (с мгновенными центрами на конечном үвсетоянии), то составленное движение также имеет характер вращения (III, рубр. 27), ось которого лежит в плоскоети осей созтавляющих врацений. Іоэтому дересечения трех осей е плоскостью движения, т. е. мгновенные центры трех вращений, расположены на одной прямой.
3) Ф. Савари (Felix Savary) родилея в Париже в 1797 г., умер в Эстажели (Estagel, Восточные Пиренеи) в 1841 г., состоял профессором астрономии и геодезии в политехнической школе. Доказательство геометрической төоремы, приведенной в тексте, было дано Кенигсом (Königs, см. „Bulletin des sciences mathématiques“, т. XXXI, 1907).

Если $C$ и Г суть центры криєизны произвольных дөух сопряженных проблилей в соответственных точках, а $C_{l}$ и Г – -центры кривизны двух полярных траекторий, то прямые С $_{l}$ и ГГ пересекатот в точке $J$, принадлежащей пря.ной $I T^{\prime \prime}$, которая проходит через мгновенный центр $I$ параллельно общей касательной двух профилей.
26. $К$ этому результату конструктивного характера присоединяется замечательное метрическое соотношение между радиусами кривизны. Чтобы притти к этому соотношению наиболе кратким путем и притом соединить в одной формуле всевозможные случаи, не разбирая на рисунках отдельно различные возможные здесь комбинации, целесообразно воспользоваться средствами аналитической геометрии.

За оси координат $x$ и $y$ примем наши две взаимно перпендикулярные прямые $I T$ и $I N$, ориентированные согласно этоху их обозначению; стороны обращения осей, такпм образом, первоначально выбраны совершенно произвольно. Далее, примем $I M$ за положительную еторону общей нормали к сопряженным профилям; наконец, обозначим через а аномалию этой полупрямиї относительно оси $x$ и через $\delta$ рлсстояние IM. Теперь через $r$ r ? обозначим радиусы кривизны кривых $c$ п $\gamma$, т. є. отрезки $M C$ и $М$, взятые с надлежащини знаками относительно стороны обращения $I M$, принятой за положительную на общей нормали обоих профилей. Вместе с тем $r+\delta$, $p+\delta$ выражают по величине и энаку отрезки $I C=I M+M C, I \mathrm{I}=I M+M \mathrm{I} ;$ вследстгие этого их компоненты, т. е. координаты $x, y$ точек $C$ и $\Gamma$, выразятся соответственно следующими формулами:
\[
\begin{array}{l}
x==(r+\delta) \cos \alpha, y=(r+\delta) \sin \alpha \text { для точки }, \\
x=(\rho+\delta) \cos \alpha, y=(\rho+\delta) \sin \alpha \text { для точки Г. }
\end{array}
\]

Что касается центров кривизны $C_{l}$ и $\Gamma_{\lambda}$ двух полярннх траекторий, которые оба расположены на прямой $I N$, т. е. на оси $y$, то мы обозначим соответствующие ординаты через $r_{l}$ и $p_{\lambda}$; по существу, это радиусы кривизны двух кривых, взятне с надлежащими знаками относительно стороны обращения $I N$, принятой на нормали за положительную.

При этих условиях уравнения прямых $C C_{2}$ и $\Gamma_{2}$, соединлющих точки
\[
(r+\delta) \cos \alpha,(r+\delta) \sin \alpha \text { и } 0, r_{l}
\]

и соответственно
\[
(\rho+\delta) \cos \alpha,(\rho+\delta) \sin \alpha \text { и } 0, \rho_{\lambda} \text {, }
\]

имеют вид:
\[
\begin{array}{l}
\left|\begin{array}{ccc}
x & y & 1 \\
(r+\delta) \cos \alpha & (r+\delta) \sin \alpha & 1 \\
0 & r_{l} & 1 \\
x & y & 1 \\
(p-\delta) \cos \alpha & (p+-\hat{c}) \sin \alpha & 1 \\
0 & p_{k} & 1
\end{array}\right|=0 .
\end{array}
\]

Радиусы кривизны $r_{l}$ и $\rho_{\lambda}$ мы, естественно, можем считать отличными от нуля (мы можем ограничиться кривыми, которіе имеют правильное изгибание в точках, о которых идет речь); более того, мы первоначально предположим, что пе обращаются в нуль ни $r+\delta$, ни $\rho+\delta$. Мы должны будем вследетвие этого разобрать по окончательной формуле, что происходит, когда $r+\delta$ или $\rho+\delta$ обращается в нуль, т. е., когда одна из точек $C$ или I’ совпадает с мгновенным центром $I$.

После этих ограничений мы можем разделить первое уравнение на $r_{l}(r+\delta)$, а второе на $\rho_{\lambda}(\rho+\delta)$; положнв затем для краткости
\[
\begin{array}{l}
q=\frac{1}{r+j}-\frac{\sin \alpha}{r_{l}}, \\
\%=\frac{1}{p+\hat{\delta}}-\frac{\sin \alpha}{\rho_{l}},
\end{array}
\]

мы приведем наши два уравнения к виду:
\[
\begin{array}{l}
q x+\cos \alpha\left(\frac{y}{r_{l}}-1\right)=0, \\
\gamma x+\cos \alpha\left(\frac{y}{\rho_{\lambda}}-\cdots 1\right)=0 ;
\end{array}
\]

вычитая их теперь почленно, получим уравнение
\[
(q-\psi) x+\cos \alpha\left(\frac{1}{r_{l}}-\frac{1}{\rho_{\lambda}}\right) y=0
\]

прямой, соединяющей пачало $I$ с точкой пересечения $J$ рассмотренных выше прямых.

Так как по геометрической теореме Савари эта прямая должна быть перпендикулярна к прямой $I M$, угловым коэфпциентом которой служит $\operatorname{tg} \alpha$, то
\[
\sin \alpha(q-\chi)=\cos ^{2} \alpha \cdot\left(\frac{1}{r_{l}}-\frac{1}{\rho_{\lambda}}\right) ;
\]

шринимая же во внимание значение $q$ и $\%$ получим:
\[
\sin \alpha\left(\frac{1}{r+\delta}-\frac{1}{\rho+\delta}\right)=\frac{1}{r_{l}}-\frac{1}{\rho_{\lambda}} ;
\]

это и есть формула Савари.
Припомним, что правая часть этого равенства, согласно соотнощению (5), отличаетея только знаком от производной $d y / d \lambda$, где $\theta$ есть угол, ориентирующий положение подвижной фигуры.

Заметим, наконец, что в том случае, когда какая-либо из четырех кривых $l, \lambda, c, \gamma$ обращается в прямую, соответствующий радиус кривизны становытся бесконечно большим (критизна обраџается в нуль), и одян из членов формулы (8) выпадает (тот, в котором фигурирует этот радиус); но $\frac{1}{r_{l}}$ и $\frac{1}{\rho_{\lambda}}$ не могут тождественно совместно обратиться в нуль, потому что обе полярные траектории не могут быть прямолинейными, поскольку речь идет о действительном качении.
27. При выводе соотношения (6) мы заранее всключили случай, когда обращается в нуль хотя Сы одна из сумм $r+\delta$ или $\rho+\delta$. Но ничто не мешает допустить, что тот или иной из Положим сначала, что $\sin \alpha
eq 0$. Если тогда одна из этих сумм стремится к нулю, то соотношение (6) обнаруживает, что и другая стремится к нулю. Переходя к пределу, мы получаем слепующий вывод: если центр кривизны одного из двух профилей naдает в точку $I$ (что соответствует уничтожению бинома $r+\delta$ или $\rho+\delta$ ), то в ту же точку падает цен:пр кривизны сопряженного профиля.

Ограничение $\sin \alpha
eq 0$ выражает, что общая нормаль в сопряженных профилях не совпадает с общей касательной к полярным траекториям. Чтобы от него освободиться, достаточно в установленном только что выводе, справедливом при $\sin \alpha
eq 0$, перейти к пределу в предположении, что $\sin \alpha$ стремится к нулю; это соотнопение при этом остается без изменения, так как угол $\alpha$ в нем вовсе не фигурирует.

К тому же выводу можно было бы притти, исходя прямо из геометрической теоремы Сазари, т. е. из того факта, что прямые $C_{l}, \Gamma \Gamma_{\lambda}, I T^{\prime \prime}$ проходят через одну и ту же точку. …
28. Дальнейшее слөдствие мы получим, если предположим, как в рубр. 9, что кривая с сводится к однон только точке $P$ подвижнон фигуры. В этом случае $r$ обращается в нуль, а потому точка $C$ совпадает с $P$; кривая $\gamma$ есть [траектория точки $P$, соотношение (6) служит для определения радиуса кривизны $\rho$ траектории произвольной точки $P$ фигуры в функции ор $\delta$, а, $r_{l}$ и $p_{\lambda}$; все эти величины непосредственно известны, коль скоро задано движение фигуры п положение точки $P$ на ней.

С точки эрения конструктивной, это приводит к следующему эквивалентному выводу: чентр кривизны $\Gamma$ траектории $\gamma$ в произвольной точке $P$ определяетея пересечением нормали с прямой $\Gamma_{\lambda} J$, где $J$, о свою очередь, представляет собой пересечение прямой $P l$ с параллелью $I T^{\prime \prime} x$ касательной х кривой $\gamma$ в точке $P$.