55. В качестве последнего примера рассмотрим движение, составленное (рубр. б) из равномерного кругового движения на плоскости $\pi$ и прямолинейного равномерного движения по прямой, перпендикулярной к $\pi$. Так как слагающее прямолинейное движение есть движение проекции движущейся точки $P$ на некоторую прямую, то, очевидно, все равно, по какой из параллельных прямых оно происходит. Поэтому без ограничения общности мы можем предположить, что траекторией прямолинейного движения служит перпендикуляр к плоскости $\pi$ из центра $O$ окружности, по которой происходит круговое двцжение. Отсчет времени будем производить от момента, в который точка, равномерно двигающаяся по этому перпендикуляру, находится в точке $O$. Эту точку $O$ мы примем за начало декартовых координат; за ось $z$ примем траекторию слагающего прямолинейного движения, ориентировав эту прямую так, чтобы круговое движение представлялось правосторонним; за положительную ось $x$ примем луч, идущий из центра $O$ к той точке окружности, в которой находится движущаяся по ней точка $P_{1}$ в момент $t=0$ (когда точка $P_{z}$, двигающаяся по оси 2 , находится в $O$ ). Ориентированная ось $y$ при этих условиях уже однозначно определена установленным соглашением, что триэдр Охуz должен быть правосторонним. Наконец, через $r$ обозначим радиус круговой траектории точки $P_{1}$, через $\omega-$ ее угловую скорость (по условию, постоянную) и через $V$-абсолютное значение скорости точки $P_{z}$ (также постоянное).

В момент $t=0$ точка $P_{1}$ в силұ сделанного нами выбора координат находится в точке, имеющей на плоскости $x, y$ координаты $r, 0$. Это соответствует тому, что в уравнения (39) равномерного кругового движения $\theta_{0}=0$; а потому эти уравнения примут в настоящем случае вид:
\[
x=r \cos \omega t, y=r \sin \omega t ;
\]

уравнение же движения точки $P_{z}$ по оси $z$, поскольку она в момент $t=0$ должна находиться в $O$, будег:
\[
z= \pm V t,
\]

причем здеєь нужно взять знак + или – в зависимости от того, является ли движение $P_{z}$ при установленной стороне обращения оси $z$ прогрессивным или регрессивним.

Соединяя теперь движения точек $P_{1}$ и $P_{z}$ в одно движение точки $P$, мы получим для последнего уравнения:
\[
x=r \cos \omega t, \quad y=r \sin \omega t, z= \pm V t .
\]

Возвышая последние два уравнения в квадрат и складывая их, получим:
\[
x^{2}+y^{2}=r^{2} ;
\]

этим подтверждается обстоятельство, и без того ясное, что движение точки $P$ происходит по цилиндрической поверхности вращения, меридианом которой служит окружность радиуса $r$, а осью- ось $z$.
Скорость $v$ точки $P$ имеет компоненты:
\[
\dot{x}=-r \omega \sin \omega t, \dot{y}=r \omega \cos \omega t, \dot{z}= \pm V ;
\]

отсюда напряжөние скорости:
\[
v=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\sqrt{r^{2} \omega^{2}+V^{2}}
\]

оказывается постоянным, так что результирующее движение является равномерным, каж и его составляющие.

Сверх того, из трех направляющих косинусов скорости $v$ третий:
\[
\frac{\dot{z}}{v}= \pm \frac{V}{\sqrt{r^{2} \omega^{2}+V^{2}}}
\]

пмеет постоянное значение; это означает, что скорость, а следовательно, и касательная к траетории, наклонена под постоянным углом к оси $z$, т. е. составляет постоянный угол с образующими круглого цилиндра, по поверхности которого происходит движение точки $P$. Мы отсюда заключаем, что траектория точки $P$ представляет собою винтовую линию на круглом цилиндре (62). Вместе с тем, движение (61) характеризуется тем, что это-равномерное винтовое движение; ось $z$ служит осью винта, радиус основания равен $r$, а угол наклонения к оси есть
\[
\arccos \frac{ \pm V}{\sqrt{r^{2} \omega^{2}+V^{2}}} \text {. }
\]

Ускорение, которое ввиду равномерности движения должно сводиться к своей центробежной слагающей, имеет компоненты:
\[
\ddot{x}=-r \omega^{2} \cos \omega t=-\omega^{2} x, \quad \ddot{y}=-r \omega^{2} \sin \omega t=-\omega^{2} y, \ddot{z}=0 .
\]

Оно имеет постоянное напряжение $\omega^{2} r$ и направлено по перпендикуляру из точки $P$ к оси $z$; оно совпадает, таким обраамм, с ускорением, которое имела бы точка, совершающая равномерное движение с угловой скоростью ш по окружности ортогонального сечения цилиндра.

Отметим еще, наконец, что за промежуток времени $\frac{2 \pi}{\omega}$ (период слагающего кругового движения) точка $P_{1}$ обходит всю окружность, а следовательно, точка $P$ описнвает целый завиток винта (т. е. дугу винтовой линии, содержащуюся между двумя последовательными еө пересечениями с одной и той же образующей цйлинда); соответственно гтому третья координата $z= \pm
abla t$ изменяется за тот же промежуток времени на
\[
\pm \frac{2 V \pi}{\omega}
\]

поэтому чнсло $-\frac{2 V \pi}{\omega}$ называется ходом винта (расстояние между двумя последовательными пересечениями винтовой линии с одной и той же обравующей). Ход винта зависит только от отношения $\frac{V}{\omega}$ скоростей обеих составляющих движений, точнее, он прямо пропорцнонален скорости прямолинейного движения и обратно пропорционален скорости кругового движения.

Равномерное винтовое движение называется правосторонним или левосторонним в вависимосги от того, как будет представляться слагающее круговое движение наблюдателю, ориентированжому в сторону прямолинейного движения. Так как в уравнениях (61) ось предполагается ориентированной таким образом, что круговое двнжение является по отношению к ней правосторонним, то уравнения (60) выражают правостороннее или левосторожнее винтовое движение в зависимости от того, взята ли третья координата со знакон + или –