5. Рулетта и ее базы. Если твердое двнжение плоскости $p$ по неподвижной плоскости $\pi$ в течение некоторого промежутка времени остается поступательным (т. е. мгновенный центр вращения в этот промежуток все время остается в бесконечности), то ход его имеет характер, присущий всякому поступательному движению, как это изложено в рубр. 3 и 4 гл. III.

В иные промежутки времени мгновенный центр может оказаться в бесконечности только в отдельные моменты; вследствие этого весь промежуток движения может быть разбит на интервалы, в каждом из которых движение остаетея либо все время поступательным (кроме пограничных моментов), либо вращательным.

В течение промежутка последнего типа подвижная плоскость отмечает в каждығ момент на плоскости т определенный центр
1) Миханл Шаль (Michele Chasles) родился в Эперноне (пюовнция Eure et Loir) в 1793 г., умер там же в 1880 г. был професеором геометрии в Парижском університете, разрабатывал также вопросы истории математики.

вращения или полюс $I$, с которнм совпадает некоторая точка $C$ движущенся плоскости $p$. С течением времени полюс меняет свое положение как на неподвнжной плоскости $\pi$, так и на подвчжной $p$. Таким образом получаютел две кривые: одна $\lambda$, которуг точка $I$ описывает на неподвижной плоскости, другая $l$, которую описывает точка $C$ на подвижной плоскости. Эти две кривые, соответствующие здесь єксоидам произвольного твердого движения ( $\S$, TV), называются взаимно полярными траекториями. В частности, кривая $l$, оиисанная на подвиљной плоскости, называется рулеттой, а соответствукщая кривая $\lambda$ на неподвижной плоскости – ее базой.
6. Важность изучения этих двух траекторий коренитея в следующем предложении: в течение движения рулетіпа гатится без скольжения по своей базе. Эта теорема, которая в плоскости аналогична предложению, установленному в предыдущей главе для пространства, доказывается совершенно такими же соображениями, именно при помощи фиктивного относительного движения. Однако мы здесь вкратце повторим это рассуждение, чтобы развить учение о плоском движении совершенно независимо от общей теории движения тьердых тел.

Рулетта и ее база имеют в каждый момент общую точку, с которой в этот момент совпадают подвижный полюс $C$ и неподвижный $I$. Рассжотрим движение точки $C$ по подвижной плоскости $p$, траекторией которого является рулетта $l$. Поскольку рулетта связана с подвижной плоскостью $p$, она увлекается переносным ее движением по неподвижной плоскости $\pi$; таким образом, движение точки $C$ по неподвижной плоскости $\pi$ мы можем рассматривать как абсолютное движение; оно определяется данным движением плоскости $p$ как переносным движением, и движением точки $C$ по рулетте как относительным. В каждый момент, как уже сказано, точка $C$ совпадает с некоторой точкой на неподвижной плоскости; таким образом, база рулетты представляет собой не что иное, как траекторию абсолютного движения точки $C$. Если вообразим себе материальную точку, совпадающую в каждый момент с точкой $I$, то таковая совершает относительное движение по рулетте $l$, а абсолютное по ее базе $\lambda$. Вместе с тем по принципу относительного цвижения (рубр. 2 предыдущей главы) имеет место соотношение:
\[
\boldsymbol{v}_{a}=\boldsymbol{v}_{r},
\]

так как переносная скорость, т. е. скорость точки $C$ относительно плоскости $\pi$ равнд нулю, так как $C$ является мгновенным центром (рубр. 4).

Соотношение (1) непосредственно обнаруживает, что обе полярные траектории в каждый момент имеют в общей точке $I$ ту же касательную. Более того, поскольку это тождество устанавливает, тто элементарные смещения точки $I$ по обеим траекториям совпадают, то каждая траектория катится по другой без скольжения.

Таким образом установлено, что каждое непоступательное движение может быть осуществлено качением кривой, неразрывно связанной с неподвижной плоскостью (рулетты) по неподвижной кривой (ее базе).

Заметим, что взапмное с этим движение [т. е. движение плоскости $\pi$ относительно плоскости $p$ (рубр. 8 предыдущей главы)] имеет те же полярные траектории.