1. Поезд в движении имеет скорость в $72 \kappa м$ в час. При помощи тормозов его можно остановить в 20 мин. Допуская, что двнжение поезда за этот промежуток является равномерно замедленным, вычислить, на каком расстоянии от станцип нужно пустить в действие тормоза،
2. Закон, по которому точка двнжется по траектории, выражается путевым уравнением $s=f(t)$ (§4). Годографск или диаюрамкой движения называется кривал, выражаемая тем же уравнением, если $t$ принимается за абсциссу, а $s$ за ординату точки. В соответствни с этим:
a) вычертить диаграмму равномерного движения о остановками или без них (приложенне к железнодорожным графикам);
b) вычертить диаграмму гармонического движения
3. Точка $A$ двнжется по прямой равномерно. Определить траекторию (кривую преследованил) точки $P$, движущейся таким образом, что ее скорость, сохраняя постоянное напряжение $v$, всегда направлена к точке $A$. Вычнслить время, необходимоө точке $P$, чтобы настигнуть точку $A$ (в предположении, что $v$ больпе скорости $u$ точки $A$ ).
4. Принимается, что вода в реке вблизи прямолинейного берега течет со скоростью, пропорциональной расстоянию от берега. Человек, пдывущий поперек реки с постоянной скоростью (относительно воды), описывает дугу параболы. Показать, что время, в которое он достигнет берега, не зависит от скорости течения реки (т. е., собственно, от коэфициента пропордиональности чежду скоростью и расстоянием).
5 Лодка отходит от точки $A$ на берегу реки, вода которой течет с постоянной скоростью $v$, и направляется в каждый момент к противоположной точке $B$ также с постоянной скоростью $u$ (относительно воды) ${ }^{1}$ ). Ширина реки равна $l$. Определить траекторию, тройденную лодкой, время, в течениө которого она переплыла реку, наибольшее удаление, которое она имела в пути от прямой $A B$, и ее скорость в момент напбольшего удаления.
6. В любой момент двпжения точки угол между двумя векторами- скоростью и ускорением – будет острых или тупым, в зависимости от того, является ли движение в этот момент ускоренным или замедленным.
7. Вывести выражения радиальной и трансверсальной скоростей плоского движения, исходя из уравнения движения в форме
\[
\overline{O P}=f e^{i \theta},
\]
где $\rho$ и $\theta$ суть две определенные функции от $t^{2}$ ).
Таким же приемом получить компоненты радиального и поворотного ускорений.
8. Показать, что плоское движение точки, в котором как тангендиальная, так и нормальная компоненты ускорения имеют постоянные значения, проиеходит по логарифмческой спирали вли по одной из кривых, представляющих еө вырождения
(По условию $\frac{d v}{d t}=a, \frac{v^{2}}{r}=b$, где $a$ п $b$-постоянные; так как $\frac{d v^{2}}{d s}=$ $\frac{1 d v^{2}}{v d t}$, то первое из этих соотношений дает $\frac{d v^{2}}{d s}=2 a$; диферендируя теперь по $s$ второе соотнопение $v^{2}=b r$, получаем $\frac{d r}{d s}=\frac{2 a}{b}$; это именно соотношение п характеризует логарифмические спирали и их вырождения.)
9. Как известно, если дана кривая на плоскости, то подошвенной точкой любой ее точки $P$ относительно полюса $O$ называется основание $Q$ перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на касатетьную к кривой, проведенную в точке $P$.
Обозначая через $\rho$ и $\theta$ – полярные координаты точки $P$ относительно шолюса $O$, через $p$-длину радиуса-вектора подарной точки $Q$, соответствующей $P$, легко доказать слөдующие два диференциальные соотношения:
\[
\frac{d \theta}{d s}=\frac{p}{\rho^{2}}, \frac{d p}{d \rho}=c \rho,
\]
где $d s$ и означают әлемент длиғы и кривизну данной кривой в точке $P$. Если через $\varphi$ обозначим аномалию касательной (надлежащим образом ориентированной), то аномалия подарной точки $Q$ имеет значение $\varphi+\frac{\pi}{2}$, и первое из вышеприведенных двух соотношений можно написать в виде:
\[
\frac{p d\left(\bar{\varphi}+\frac{\pi}{2}\right)}{\rho d \theta}=c \rho .
\]
Основываясь на этом результате и на втором из двух вышеприведенных соотношений, мохно показать [опнраясь на соотношенне (19) рубр. 19], что при любом плоском движении напряжение скорости подарной точки равно $\rho c v$, где $v$-скорость точки $P$.
1) То-есть лодочник ведет лодку так, что в каждый момент движения еө собственная скорость (по отношению к воде) направлена к точке $B$ и имеет постоянное напряжение $и$.
2) Нуано заметить, что здесь идет речь о векторе $\overline{O P}$, а ве о его длине $O P$. (Peд.).
10. Вычислить глубину оврага, оптекая в него камень и учитывая время, протекшее между моментами, когда камень был опущен и когда был услыпан пум от удара камня о дно оврага. Принимается при этом, что звук распространяетея со скоростью $340 \boldsymbol{x} /$ сек.
11. Камень брошен вертикально вверх. При подъеме он проходпт некотоpoе расстояние $h$ (по отношению к начальному своему положению) в $t_{1}$ секунд и затем, достигнув наибольшей высоты подъема, опускается и возвращается обратно через следующие $t_{2}$ секунд. Показать, что $2 h=g t_{1} t_{2}$ и что начальная скорость камня была равна $\frac{1}{2} g\left(t_{1}+t_{2}\right)$.
12. Даны две точки $A$ и $B$; определить, в каком направлении нужно бросить нз $\dot{A}$ тяжелое тело с заданной (по напряжению) скоростью $v_{0}$, чтобы оно пропло через точку $B$.
(Нужно воспользоваться первой формулой рубр. 32, принимая точку $A$ за начало координат; далеө, выразить, что парабола, выходящая из $A$ под неизвестным углом $\alpha$, пройдет через точку $B(x, y)$. Это приводит к квадратному уравнению откосительно $\operatorname{tg} \alpha$. Задача может иметь: два решения, одно или ни одного. Эти три случая характеризуются тем, что точка $B$ не может бить достиянта, если она дежит вне параболи
\[
y=\frac{1}{2} \frac{v_{0}^{2}}{g}+\frac{1}{2} g \frac{x^{2}}{v_{0}^{2}},
\]
которая поэтому называетея параболой безопаспости.)
13. Несколько тяжелых точек брошєны нз одной и той же точки $O$ в одной и той же вертикальной плоскости в различных направлениях, но с той же начальной скоростью $v_{0}$. Показать, что геометрическое место фокусов траекторий есть окрулность (с центром в точке $O$ п радиусом $\frac{v_{0}^{2}}{2}$ ), что геометрическое место верпин этих царабол есть вллинс, что все они огибают параболу безопасности (см. предыдущее упражнение).
14. Несколько тяжелых тел (точек), брошенных в один п тот же момент из одной и той же точки и с одной и той же скоростью (но в различных направлениях), в каждый момент движения находятся на одной сфере (дентр и радиуе которой меняются от момента к моменту).
15. Два камня бропены с вершины башни с одной п той же скоростью, но в различных направлениях, именно под углами $a_{1}$ п $a_{2} k$ горизонту. Как оказалось, они упали в одно и то же место. Определить высоту башни.
16. Две тяжелые точки двигаются в одной и той же вертикальной плоскости. Если в какой-либо момент их скорости расположены симметрично относптельно какой-либо вертикали, то они останутся симметричными и в лобой другой момент движения.
17. Орудие уетанавливается перед вертикальной стеной так, чтобы снаряды могли проноситься над стеной внсота стены над дулом пупки равна $h$, расстоянне пупки от стөны равно $d$. Выстрелы производятся в плоскости, перпендикулярной к стене, под разлнчными углами, но с одной и той же начальной скоростью $v_{0}$. Какому ограничению должны быть подвергнуты данные задачи для того, чтобы снаряды действительно могли попадать за стену, не проламывая ее. Если это ограничения удовлетворено, то каково расстояние, над которым оружие командует, т. е. какова длина отрезка $M N$, в предөлы которого падают снаряды, пролетающие над стеной?
18. Под средним значением функции $f(\lambda)$ в произвольном интервале $\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}\right)$ разумеют отношение:
\[
\frac{1}{\lambda_{1}-\lambda_{2}} \int_{\lambda_{1}}^{\lambda_{0}} f(\lambda) d \lambda .
\]
Опираясь на это определение, показать, что при каждом равномерно переменном прямолинейном движении, начинающемея с состояния покоя, имеют место следующие соотношения:
a) Если рассматривать скорость кат функцию времени, то среднее ее значение от начального до любого конечного момента равно половине скорости в конечный момент.
b) Если рассматривать скорость как функцию от расстояния точки от начального положения, то ее среднее значение (между начальным и произвольным другим положениями) составляет две трети конечного значения.
19. Показать, что какое угодно число гармонических движений:
\[
x=r_{i} \cos \left(\omega t+\theta_{i}\right)(i=1,2,3, \ldots, n),
\]
происходящих на одной и той же прямой с одним и тем же центром и одним и тем же периодом, соединяются в одно (результируюиее) гармоническое движение:
\[
x=\sum_{i=1}^{i=n} r \cdot \cos \left(\omega t+\theta_{i}\right),
\]
имеющее тот же центр и тот же перисд.
20. Пуоть будет дано пропзвольное гармоническоө движение $x=r \cos (\omega t+A)$ На произвольной плоскости (плоскости чертежа) наносим систөму полярных координат и радиус-вектор $\overline{O P}$, нмеющий длину $r$ и аномалию $\theta$. Такой вектор представляет совместно обе постоянные $r$ и $\theta$ (амплитуду и начальную фазу) и потому называется изображением рассматриваемого гармоническоло движенил.
Показать, что результирующее гармоническоө движение, о котором идет речь в упражнении 19, изображается вектором, представляющим собою сумму тех векторов, которые изображают слагающие гармонические движения.
21. Показать, что движение, слагающееся из двух гармонических движений с общим центром и общим перкодом, имеет своей траекторней эллипс (вырождающийся в частных случаях в окружность и в прямую).
22. Если проекция движущейся точки $P$ на три оси координат совершают гармонические колебания, имеющие общий центр в начале координат, то это движение центральноө, а траекторией өго служит әллипс.
Указать, в каких случаях это движение оказываетея круговым или прямолинейным.
23. В электротехннкөббыкновенно называют враиаюиимся вектором вектор, выходящий из постоянной точки, имеющий постоянную длину и врацающийея равномерно в плоскости; под альтернируюиим вектором разумеют проекцию вращающегося вектора на поетоянную прямую, проходящую чөрез центр вращення (начало вращающегося вектора), и расположенного в плоскости вращения.
Соверпенно ясна тесная зависимость, связывающая вращающийся вектор и соответствующий альтериирующий вектор с равномерным движением точки по окружности и соответствющим гармоническим колебанием. Вспоминая определения рубр. 34, очевидно, очень легко сообразить, что разумеют пол величиной, стороной вращения, частотой и фазой вращающегося вектора и под акплитудой, прямой действия, частотой и фазой альтернирующего вектора.
Исходя из әтих определений, доказать следующие свойства:
a) В плоскости даны два вращающиеся вектора одинаковой частоты. Если оба вектора вращаются в одну и ту же сторону, то их сумма (результирующий вектор) представляет собою также вращающийся вектор. Если же они вращаются в противоположные стороны, то результирующий вектор может быть разложен на альтернирующий и вращающийся векторы (последний обращается в нуль, если вращающиеся компоненты имеют одинаковую длину).
b) Результирующий вектор какого угодно числа альтернирующих векторов, имеющих одинаковую частоту к одну и ту же прямую денствия, сам представляет собою альтернир ующий кектор (ср. упражнение 19).
с) Два альтернирующие вектора дают вращающийся результирующий вектор, если они имеют равные амплитуды и частоты в если разность их фаз равна дополнению угла, содержащегося между их направлениями (ср. упражнение 21, случай окружности; әто наблюдение привело к открытию врацаючегося манитног покя Галилео Феррариса).
24. В затухающем колебательном движении продолжительность одного простого полуоборота (полупериода $\frac{\pi}{\omega}$ соответствующего гармонического колебания) составляет 1 сек. Было обнаружено, что определенные положения колеблющейся точки в одном таком полуобороте отстолли соответственно на 20 и 19 ск от щентра по сдну и другую еторону от него. Через сколько времени (считая от момента, когда двнжущаяся точка находилась на рассоонии 20 ск от центра) можно будет ечитать движение затухшим, если пренебречь полуоборотами, амплитуды которых ниже 1 мм.
25. В замедленном спиральном двнении, рассмотренном в рубр. 37, ускорение наклонено к нормали под постолнным углом, тангенс которого равен $m$.
26. Если точка движется по закону, выражаемому уравнением $P=P(t)$, то соответствующим годографическим движением называется движение точки $V$, определяемое уравнением:
\[
\overline{O V}=\dot{P}(t),
\]
где $O$-произвольная постоянная точка. Определенная таким образом точка $V$, очевидно, представляет собою конечную точку вектора, предетавляющего скорость точки $P$ в момент $t$ и приложенного в точке $O$.
Показать, что для равномерного движения годографическое движение имеет траекторией сферическую кривую; для кеплеровых двпжений эта кривая представляет собою окружность (центр которой лежит на ординате фокуса).
Наметим ход аналитического доказательства последнего предложения. Относя траекторию к ее осям и вводя эксцентрическую аномалию $и$, имеем:
\[
x=a \cos u, y=b \sin u ;
\]
отсюда фокальный радиус
\[
\rho=a(1-e \cos u),
\]
где $\boldsymbol{e}$ – эксдентриситет траектории.
Если параллельным перенесением осеє поместм начало координат в фокус (центр двнжения), то будем иметь:
С другой стороны, принимая во внимание постоянство секториальной скорости (относительно фокуса), найдем:
\[
\dot{u}=\frac{n}{1-e \cos u},
\]
где $n=\frac{C}{a b}$, а $C$ означает двойную постоянную площадей.
Теперь обозначим через $\xi$, координаты произвольной точки годографа; тогда
\[
\xi=\dot{x}=-a n \frac{\sin u}{1-e \cos u}, \quad \eta=\dot{y}=b n \frac{\cos u}{1-e \cos u},
\]
или после простых преобразований:
\[
\xi=-\frac{a^{2} n}{b} \frac{y_{1}}{0}, \eta-\frac{a^{2} n e}{b}=\frac{a^{2} n}{b} \frac{x_{1}}{0} ;
\]
отсюда непосредственно вытекает требуемое предложение.
То же предложение можно доказать синтетически, если принять во внимание, что подарой (геометрическое место подарных точек) әллипса относительво одного из его фокусов служет окружность и что огружность при инвертировании обратными раднусами-векторами переходит в окружность же. Теперь достаточно применить эти две теоремы к выражению тех кинематических обстоятельств движения, что сегториальная скорость имеет постоянное значение и выражается моментом скорости относительно дентра; это же послөднее свойство выражается равенством:
\[
p v=C,
\]
где $p$ есть расстояние фокуса от касательной к әллипсу.
27. При каждом центральном движении имеет место соотношение:
\[
a_{\rho}=\frac{C^{2} \rho}{r p^{3}},
\]
где $C, p$ и $p$ сохраняют те же значения, что и в предыдущей задаче, а $r$ есть радиус кривизны траектории.
28. Если точка движется по эллипсу пентральным двнжением относительно центра эллипса, то ускорение пропордионально радиусу-вектору; если она движется по логарифмической или гиперболической спирали, совершая центральное движение относительно полюса спирали, то ускорение обратно пропорционально кубу радиуса-вектора.
29. В кеплеровом движении слагающие скорости по перпендикуляру к радиусу-вектору и по малой оси траектории имеют каждая постоянное значение (см. указание к упражнению 26).
30. Точка описывает окружность $x^{2}+y^{2}=1$ с ускорением, которое численно все время равно 1; в тот момет, когда движущаяся точка находится на оси абсцисс в точке (1,0), ускоренпе направлено к центру окружности.
Показать, что при этих условиях движение либо происходит равномерно, либо имеет \”скорение, компоненты которого равны:
\[
\ddot{x}=-\cos 3 \theta, \ddot{y}=-\sin 3 \theta,
\]
где 0 – аномалия двичущев̈ся точки.
[В самом деле, из соотношений ( $58^{\prime \prime}$ ) рубр. 52 сдедует, тто при заданных условиях $a_{\rho}=-\dot{\theta}^{2}, a_{0}=\ddot{\theta}$, а потому
\[
\dot{\theta}^{4}+\ddot{\theta}^{2} \leqslant 1 \text {. }
\]
Мы получаем частное решевие этэго диференциального уравнения, полагая $\ddot{\theta}=0, \dot{\theta}= \pm 1$; ему соответствуег равномерное движение по окружности; предполагая $\ddot{\theta}
eq 0$, мы введем вспомогательный угол $\downarrow$ и заменим квадратное уравнение, связывающее $\dot{\theta}$ и $\ddot{\theta}$ параметрическими уравнениями:
\[
\dot{\theta}=\cos \psi, \ddot{\theta}=\sin \psi .
\]
Диференцируя первое уравнение в сопосталляя результат со вторым, получим:
\[
2 \dot{0} \ddot{\theta}=-\ddot{\theta} \dot{\psi} .
\]
Исключая случай, когда $\ddot{\theta}=0$, получим $2 \ddot{\theta}=-\psi$; принимая же во внимание начальное условие. заданное для положения $\ddot{\theta}=0$, находим $\psi=-20$. Отсюда следует, что
\[
a_{\mathrm{p}}=-\cos 2 \theta, a_{\theta}=-\sin 2 \theta,
\]
a так как
\[
\ddot{x}=a_{\rho} \cos \theta-a_{\theta} \sin \theta, \ddot{y}=a_{\rho} \sin \theta+a_{\theta} \cos \theta,
\]
то отсюда вытекает непосредетвенно соотношение, указанное в задании.]
31. Показать (пользуясь нориальной слагающой в равномерном винтовом движении), что радиус кривизны кругового винта имеет постоянное значение $R+\frac{h^{2}}{R}$, где $R$ – радиус цилиндра, которому винт принадлежит, а $h$ его ход.
32. На цилиндрической поверхности с каким угодно сөчением кривые, пересекающие все образующиө под постоянным углом, называются также винтовыми линиями. Из этого определения непосредственно вытекает, что скорость движущейся точки сохраняет постоянное отношение к своей проекции ва неподвияную плоскость в том и только в том случае, если траекторией служит винтовая линия.
