1. Длина суммы $\boldsymbol{R}_{1}$ нескольких векторов $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n}$ определяөтел формулой:
\[
R^{2}=\sum_{k}^{n} v_{k}^{2}+2 \sum_{i j} v_{i} v_{j} \cos \widehat{\boldsymbol{v}_{i} \boldsymbol{v}_{j}},
\]
где суммование во втором члене правой састи распространяется на все возможные сочетания индексов $1,2, \ldots, n$ по два.
2. Для каких угодно трех векторов $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ имеет место тождество:
\[
[a[b c]]+[b[c a]]+[c[a b]]=0 .
\]
8. Пусть $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ будут три некомпланарные вектора. Произвольный вектор $\boldsymbol{v}$, как известно, можно разложить по прямым дейетвия этих трех векторов; так что
\[
\boldsymbol{v}=\lambda \boldsymbol{a} \dashv \mu \boldsymbol{b}+v \boldsymbol{c},
\]
где $\lambda, \mu,
u$-вцолнө определенные чиеленные коэфициенты.
Показать, что
\[
\lambda=\frac{v[b c]}{a[b c]},
\]
выпажения же дтя $\mu$ и получаютея отююда путем круговых перезещенпй векторов $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$.
4. Обозначим через $M$ момент приложенного вектора $v$ относительно точни $P$, а через $Q$ основанте перпендикудяра, опущенного шз точки $P$ на шрям ую действия вектора $\boldsymbol{v}$. Показать, что
\[
\overline{P Q}=\frac{1}{v^{2}}[v M] .
\]
чнсло
\[
z=X+i Y \quad(i=V=1) .
\]
Показать, что векторное умножение вектора $k$ на вектор $v$ эквивалентно умножению числа $z$ на $i$.
Замечаяие. В этом упражненни установлено однооднозначное соответствие между векторами плоскости п комплексными чнелами; показано, что умножепие комплекеного чиела на мнимую единццу $i$ эквивалентно умноженио соответствующего вектора (елева) на версоп $k$, т. е. повороту на $40^{\circ}$. Аналогично этому всякая аналитичсская операния $f(z)$, применение которой к комплекеному числу $z$ дает в результате тисло $z_{1}$, может быть расематриваема как оператор над векторами плоскости, относящий вектору $z$ вектор $z_{1}$.
6. Показать, что умножение комплексного числа на $e^{\text {yi }}$ интерпретируетея как поворот соответствующего вектора на угол
7. Показать, что геометрическое место точки $l^{\text {‘, }}$, определяемое уравнение
\[
\overline{O P}=r e^{\theta i} \text {, }
\]
где $O$ есть постолнная точк, $r$-постояние положительное число, а аргумент 9 менлетея от 0 до $2 \pi$, есть окружность, имеющая центр в точке $O$ п радиуе $r$.
Доказать также более общес предложение: если $p=p(\vartheta)$ есть уравнениө некоторой кривой в поляриых координатах, то геометрическое уравнение:
\[
\overline{O P}=p e^{\eta i}
\]
дает параметрическое выражение той ге грнвой.
8. Показать, что для всех точек, пю инадлежацих поверхности цилинда, осыо которого служит дентральная ось спстемы пиложенных векторов, главный момент спстемы всегда лежит в гасательной плоскости к цилиндру, имеет постоянную дину и обпазует е осью постоянный угол.
7. 9. Показать, что для системы векторов, пнарлантный трехчлен которой отличен от нуля, всегда можно найти центры приведения, по отношению к которым главный момент имеет заданное наппавление; геометрическое десто этих точек есть прямая, параллельная дентратьной оси системы.
10. Клаузиус 1) называет вприалом системы $\Sigma$ приложенны векторов $\left[A_{i}, \boldsymbol{v}_{i}(i=1,2, \ldots, n)\right]$ относительно произвольной точки $P$ скаляр
\[
V=\sum_{i}^{n} \overline{P A}_{i} v_{i} .
\]
1) Рудольф Клаузиус (Rudolf Clausius) родилея в Кеслине, в Померании, в 1822 г., умер в Бонне в 1888 г., был профессором физики в университетах Цюң иха, Вюрдбупга и Бонна. Классическое значение имеют его исследования в об асти механической теории теплоты, а также в области термодинамики в наиб.,ее щпроком ее пониманит; этп сочинения составляют два тома. Его формулирсвка основных законов әлектродинамики в свое время также привлекла внихани исследователей.
когда полюс $P$ меняется, то закон изменения вириала остается тот же, что и для главного момента (рубр. 39), с тюю лишь разницей, что векторное пронзведение заменяетса скалярным. Таким образом для любого другого полюса $P^{\prime}$ имеем:
ияи в словах: новый вириал равен первоначальному, увеличенному на вириал относительно нового полюса главного вектора спетемы, притоженного в первоначальном полтсе.
В частности, при $R=0, V^{\prime}=V$; это знатит, для системы, главный вектор которой равен нулю, впрал представляет собою внутрений элемент системы, т. е. не зависит от польса.
Доказать (например, на основании последнего предложепия), что две системы, имеюпџе общий главный вектор, пмеют также общий вирпал по отношению к любому полюсу, если их вирналы совпадают при одвом определенном полюсе.
*. 11. Показать, что четыре вектора $\overline{P A}, \overline{P I}, \overline{P C}, \overline{P D}$, приложенные в точке $P$ пересечения взаимно перпендикулярных хорд $A B$ и $C D$ некоторой окружности, образуют систему, экьнвалентнчо одному вектору, который приложен в центре окруности $O$ и равен $2 \overline{P O}$.).
-12. Уеловне, необходимое и достатсчное дыл того, чтобы система векторов была эквивасентна нулю, молет быть ведено к тому, чтобы главный еө момент обращался в нуль для трех точек, не распотоженных на одной прямой. – 13. Любая система векторов эгвиватентиа двум векторам, из которых один может быть помещен на произвольно выбранной прямой с тем только ограниченнем, чтобы она но была параллельа главному вектору спетемы и чтобы взятий относнтельно нее (осевой) момент системы был отличен от нуля.
-14. Абсольтная велична пнвариантого трехчлена сиетемы двух векторов равна шестикратному объему тетраәдра, построенного на әтих двух векторах и на векторе, соединяющем точки их приложения.
-15. Общий перпендикуляр двуः векторов встречает под прямым углом центральную ось образуемой ими системы.
16. Всякая система векторов эпмвалентна пести векторам, направленным по ребрам произвольно выбранного тетраэдра.
– 17. Система трех векторов, расположөнных в одной плоскости, эквивалентна трем векторам, направленным го еторонам треугольника, произвольно выбранного в той те шлоскости.
– 18. Обобццть на выпуктый многоугольник заключительное замечанне рубр. 58, именно, доказать следующую теорему: плоская сиетема $n$ векторов, перпендикулярных к сторонам выпуктого $n$-угольника в их серединах, находится в равновесии, если длины векторов пропорпиональны соответствующим етороназ и если они все обращены внутрь многоугольнига (пли всө наружу).
– 19. Система векторөв, шерпендикулярных к граням тетраэдра в их центрах (описанных окружностей), находитея в равновесии, есық длины векторов пропорциональны площадям соответствующих граней и если все они обрацены внутрь тетраәдра (или все наругу).
20. На основе определения еириал, данного в упражненни 10, показать, что иснтр системы параллельных приложенных векторов (рубр. 62 и 64), главный вектор которой отличен от нуля, можно характеризовать как ту точку центральной оси, по отнопению к которой вирнал обращаетея в нуль.
Исходя отсюда, можно распространить на любую систему прпложенных вскторов (т. е., вообще, не параллельных), главный вектор которой отличен от нуля, понятне о чеитре спстемы; достатогно определить центр как ту точку центральной оси, по отношенню к котоэой вирнал обращаетея в нуль ).
Показать, что центр спстемы этим определяетея однозначно.
1) Он может быть приложен и в точке $P$. (Peд.)
2) Cм. F. Fo.tocoв, „Comptes Rendus“, т. 185, 1928, етp. 1012-1014.
21. Основное построение графиеской статпки ${ }^{1}$ ). Дана плоская систөма 2 приложенных векторов; построить (рубр. 57) приложенный вектор или пару, к которым приводится система в зависимости от того, отличен ли ее главный вектор от нуля или равен нулю. В частности, распознать, не уравновешена ли система.
Для простоты рассмотрим систему, состоящую из четырех приложенных векторов $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}, \boldsymbol{v}_{4}$ (фиг. 30); пусть $r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4}$ будут их прямые действия. Полигонируем эти векторы, исходя из точки $M$, так что отрезки $M M_{1}, M_{1} M_{2}, M_{2} M_{3}$, $M_{3} M_{4}$ будут соответетвенно эквиполлентны этим векторам. Предположим сначала, что эта ломаная не замыкается. Фиксируем в пэокости произвольную точку P’ (полюс), не расположенную ни на одной из сторон ломаной, и обозначим терез $\bar{\alpha}, \bar{\alpha}_{1}, \bar{\alpha}_{2}, \bar{\alpha}_{3}, \bar{\alpha}_{4}$ соответственно векторы $\overline{P M}, \overline{P M}_{1}, \overline{P M}_{2}$, $\overline{P M}_{3}, \overline{P M}_{4} ;$ проведем также произвлльную прямую $a$, параллельую вектору $\overline{P M}$; она пересечет прямую $r_{1}$ в определенной точке $A_{1}$, так как прямая $P M$ пересекает вектор $\overline{M M}_{1}$, параллельиый $r_{1}$. Далее, чероз точку $\boldsymbol{A}_{1}$ проведем прямую $a_{1}$, паралтельную $I^{\prime} M_{1}$, до пересетения е $r_{3}$ в точке А; н3 точки $A_{2}$ проведем прим, о $a_{2}$, параллетьную $M I_{2}^{2}$, до пересечения е $r_{3}$ в точке $A_{3}$; пз точки $A_{3}$ проведем прямую $a_{3}$, паральельную $P M_{3}$, до пересетения о $r_{4}$ в тотке $A_{4}$; наконец, нз точки $A_{4}$ проведем прямую $a_{4}$, паралтельно $P M_{4}$. Так как тотка $M_{i}$, по устовню, но совпадает е $M$, то прямы $a_{4}$ и а пересекутся в некоторой точке $\mathcal{A}$. Если теперь через тику $A$ проведем прямую $r$, параллельную $M_{4}$, то вектор $\boldsymbol{R}=\Sigma_{i} \boldsymbol{v}_{i}$ параллелен $r$. Если на прамой $r$ отложим вектор $\boldsymbol{R}$, приложнв его в точке $A$, то оп будет әквивалентен данной снстеме $\Sigma$. В самом деле, так как
\[
\overline{P M}+\overline{M M}_{1}=\overline{I M}_{1},
\]
то и аналогнчно
Складывая эти еоотношения почленно и устранив в обенх частях общие векторы, получим:
\[
\text { снстема }\left(\bar{\alpha} \text { на } a, \Sigma \text { ) эквивалентна } \bar{\alpha}_{4} \text { на } a_{4}\right. \text {, }
\]
a потому
систела $\Sigma$ эквнвалентна системе $\left(\overline{\alpha_{4}}\right.$ на $a_{4},-\bar{\alpha}$ на $\left.a\right)$.
1) Cp. G. Bisconcini, „Esercizi c. complementi die meccanica razionale“, Milano, Lib. ed. Politechnica, 1927, етр. 20-31.
Так как векторы $\bar{a}_{4}$ п – $\bar{x}$ мы можем счнтать прнложенныии в точке $A$, а в то же время $\bar{\alpha}_{4}-\bar{\alpha}=R$, то последнее соотношение устанавливает, что снетема эквивалентна вектору $R$ на прямой $r$.
Если полигон данаых векторов замыкаетея, так что точка $M_{4}$ совпадает с $M$ н, следовательно, прямая $P M_{4}$ созпа,ает е $P M$, то прямые $a$ и $a_{4}$ инеют одно и то же направление. Если они параллельны, то система $\Sigma$ эквивалентна паре ( $\bar{\alpha}$ на $a_{4}$ и – $\bar{a}$ на $a$ ); если же они совпадают, го енстема уравновешена.
іоманую, составленную пряыыи $a, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$, называют всрееочиых миоюуюльнком. Мы приходим, таким образом, к следующему заключению. Если полигон, составленный из векторов системы, открыт, то систека эквивалентна одному вектору; если полигон векгоров замыкается, но упомянутый веревочный многоугольник остаетсл открытым, то система эквнвалентна паре; если, наконеп, оба рассмотренные многоуготьнка оказываются замкнутыми, то мы имеем дело е уравновешенной сиетезон.
22. Соответственные стороны двух веревочных многоугольников, отвечающих одной и той же плоской системе венторов, но построенных при различных полюсах, пересекаются на прямй, параллельной той, которая соедияят два поліса 1 ).
23. Чтобы система двух векторов была аквивалентна одному вектору, кеобходимо и достато’но, чтобы оба вектора лежали в одной и той же плоскоста, но не были друг другу противоположны.
24. Неследуем плослую кривую, опраяеь на соображения § 11.
a) Выбрав произвольно точку $O$ (полюс), будем обознатать через ? радиус-вектор точкн $P$ кривой, через $\rho$ – его длину. Тогда:
\[
\frac{d r}{d s}=t, \quad \frac{d t}{d s}=\frac{1}{r} n, \quad \frac{d n}{d s}=\cdots \frac{1}{r} t,
\]
где $r$ ель радиус кривизны крнвой в точке $P$. Показать, что последнее соотношение можно вывести из предыдүцего, не пользуясь общими форм улами Френе.
b) Іредпололим, что крнвая в окрестностн точки $P$ обращена к точке $O$ вогиутостью, т. е. что векторы $\vec{\rho}$ и $n$ ббазуют тупой угол. В таком случа длина $P$ перпендикуляа, опущенного из точки $O$ па касательную $\boldsymbol{\kappa}$ кивов в тотке $P$, равна – $n$. Показать, тто деференцированне соотопения $P=-\bar{p} n$ приводит к нзвестноду выра;ение радиует крнвнзи:
\[
r=\rho \frac{d \rho}{d p} .
\]
топке $P$ размеют (шредельную) окружность, определяемую точкой $P$ и двумя другими бесконечно близкимик $P$ точками кривой (или, еслн угодно, окруэность, касающуюл кривой в точке $P$ п проходящию еще черсз точку, бесконечно близкую к $P$ ). Положение дентра $C$ әтой окружности определяется равенством
\[
\overline{P C}=r n \text {. }
\]
Определяя аналогино соприкасаюцуюел сферу, покәзать, ‘то ее центр $C^{\prime}$ падает в точку, определяемую равенством
\[
\overline{F C^{\prime}}=r \boldsymbol{n}-\div \frac{d r}{d s} \boldsymbol{b} .
\]
26. Как для круглого цилннда (ер. рубр. 88-90), так и для эюбого другого цилннда внновой линией называется кривая, пересекаюцая всо о-разующие под одии и тем же углом.
Ноказать, что дія веятой вннтовой линии отношение двух кривизн сохраняет постоянное знатение, и, обратно, если на кривой линип отношенне двух крнвнзн сохраняет постояиное энатение, то она шредетавляет собою цилнндрческия вин (круглый, если обе крпвнзны сохраняют постояпные значения порознь).
1) Для доказательства как этого, так и друтих евойств веревочных многоугольииков см. ориведенное выше сочинепие Bisconcini, стр. 23 п сл. Cп. такж Gudi, Lezioni sulla Scienza delle costruzioni, Parte I, Statiça grafica, X изд.(Гвиди, Јекцин по строительиму делу, ч. I, Графпческая статика), Torino, Bona 1925,
