19. Формулы Пуассона. Тщательно изучив наиболее замечательные твердые движения, мы возвратимся к общей проблеме, поставленной в \& 1. Чтобы определить скорость произвольной точки $P$ твердой системы, достаточно будет возвратиться к общему геометрическому уравневию:
\[
\overline{O P}=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k}
\]

и диференцировать его по времени; это приводит нас к производным основных версоров $i, j, k$ по времени. Эти производные связаны между собою тремя векторными уравнениями, которые мы намерены здесь доказать средствами векторного исчисления; это доказательство, по существу, воспроизводит рассуждения Пуассона ${ }^{1}$ ), который әти соотнспения впервые установил. Два других доказательства мы вкрагце укажем в упражнениях.

Для определенности начнем с производной $\frac{d i}{d t}$; так как ее компоненты по подвижным осям могут быть выражены в форме
\[
\frac{d \boldsymbol{i}}{d t} \boldsymbol{i}, \frac{d \boldsymbol{i}}{d t} \boldsymbol{j}, \frac{d \boldsymbol{i}}{d t} \boldsymbol{k},
\]

то мы можем написать:
\[
\frac{d i}{d t}=\left(\frac{d i}{d t} \boldsymbol{i}\right) \boldsymbol{i}+\left(\frac{d \boldsymbol{l}}{d t} \boldsymbol{j}\right) \boldsymbol{j}+\left(\frac{d \boldsymbol{i}}{d t} \boldsymbol{k}\right) \boldsymbol{k} .
\]

Из шести тождеств, связывающих единичные векторы $i, j, k$, попарно перпендикулярные между собой (I, pубр. 20):
\[
\begin{array}{l}
i i=1, \quad j j=1, \quad k k=1, \\
j k=0, \quad k i=0, \quad i j=0, \\
\end{array}
\]
1) Cp. T. Boggio, Sulla relazione fondamentale della cinematica dei sistemi rigidi, Atti del R. Istituto Veneto, T. XIV, 1915, етр. 1795-1799. В этом мемуаре основными версорами $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ служат произвольные три некомланарные вектора, связанные с движущейся системой. Догазательство, приведенное в тексте, принадлежит Марколопо (R. Marcolongo), Meccanica razionale, Vol. I, Ed. 3-a, Milano 1922.

мы получаем, диференцируя по $t$, тождества:
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d i}{d t} i=0, \quad \frac{d j}{d t} j=0, \quad \frac{d k}{d t} k=0, \\
\frac{d j}{d t} k+\frac{d k}{d t} j=0, \quad \frac{d k}{d t} i+\frac{d i}{d t} k=0, \quad \frac{d i}{d t} j+\frac{d j}{d t} i=0 .
\end{array}\right\}
\]

Принимая во внимание первое и пятое из них, мы отсюда полугим:
\[
\frac{d i}{d t}=\left(\frac{d i}{d t} j\right) \boldsymbol{j}-\left(\frac{d k}{d t} \boldsymbol{i}\right) k .
\]

Так как, с другой стороны, версоры $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ попарпо взаимно перпендикулярны, то имеют еще место равенства:
\[
j=[k i], \quad k=[i j]=-[j i] .
\]

Предыдущему уравнению можно поэтому придать вид:
\[
\frac{d i}{d t}=\left[\left\{\left(\frac{d k}{d t} i\right) j+\left(\frac{d i}{d \iota} j\right) k\right\} i\right] .
\]

Еели ко второи части прибавить член $\left[\left\{\left(\frac{d j}{d t} k\right) i i\right\}\right]$, равный нулю, так как он выражает векторное произведение двух векторов, параллельных $i$, то мы придадим вредыдущему соотношению более симметричную форму:
\[
\frac{d \boldsymbol{i}}{d t}=\left[\left\{\left(\frac{d \boldsymbol{j}}{d t} \boldsymbol{k}\right) \boldsymbol{i}+\left(\frac{d \boldsymbol{k}}{d t} \boldsymbol{i}\right) \boldsymbol{j}+\left(\frac{d \boldsymbol{i}}{d t} \boldsymbol{j}\right) \boldsymbol{k}\right\} \boldsymbol{i}\right] .
\]

Это и есть первое из трех соэтношений между производными основных версоров, которые мы имеем в виду вывести; если положим:
\[
\bar{\omega}=\left(\frac{d j}{d t} k\right) i+\left(\frac{d k}{d t} i\right) j+\left(\frac{d i}{d t} j\right) k,
\]

то его можно будет написать в вуде:
\[
\frac{d i}{d t}=[\bar{\omega} i] .
\]

Для производных $\frac{d \boldsymbol{j}}{d t}$ и $\frac{d \boldsymbol{k}}{d t}$ имеют место аналогичные выражения, которые получаются круговым перемещением векторов $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$; так как, однако, выражение (23) вектора $\bar{\omega}$ при таком круговом пөремещении версоров не изменяется вовсе, то все три соотношения совместно могут быть представлевы в простой форме:
\[
\frac{d i}{\bar{a} \hat{i}}=[\bar{\omega} i], \quad \frac{d j}{d t}=[\bar{\omega} j], \quad \frac{d k}{d t}=[\omega \boldsymbol{k}] .
\]

В этом виде они известны под названием формул Пуассона ${ }^{1}$ ), так как ему мы обязаны скалярными формулами, которые получаем, проектируя их почленно на оси координат.

Компоненты по подвижным осям вектора $\bar{\omega}$, важное кинематическое значение которого мы скоро увидим, обыкновенно обозначают через $p, q, r$; из формул (22′) и (23) находим:
\[
\left.\begin{array}{c}
\boldsymbol{p}=\frac{d \boldsymbol{j}}{d t} \boldsymbol{k}=-\frac{d \boldsymbol{k}}{d t} \boldsymbol{j}, \\
q=\frac{d k}{d t} \boldsymbol{i}=-\frac{d \boldsymbol{i}}{d t} \boldsymbol{k}, \\
r=\frac{d \boldsymbol{i}}{d t} \boldsymbol{j}=-\frac{d \boldsymbol{j}}{d t} \boldsymbol{i} .
\end{array}\right\}
\]

В заключение обратим внимание еще на следующее обстоятельство. Под параметром $t$, от которого зависят версоры $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$, мы разумели время, но в предыдущем выводе формул (23) и (24) мы этой интерпретацией параметра не пользовались. Поэтому соотношения (23) и (24) остаются в силе для любого ортогонального триәдра, зависящего от произвольного параметра.
20. Окорость любого твердого движениа. Если уравнение (1), как мы әто уже делали, напишем в виде
\[
\overline{O P}=\overline{Q P}-\overline{Q O}=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k},
\]

продиференцируем его и воспользуемся формулой Пуассона, то получим:
\[
\overline{Q \bar{D}}=\dot{\overline{Q O}}+[\bar{\omega} i x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k})]
\]

если поэтому примем во внимаене, что производные
\[
\dot{\overline{Q P}}=\frac{d \varrho P}{d t} \quad \text { п } \quad \dot{\bar{O} O}=\frac{d \varrho O}{d t}
\]

выражают скорости $\boldsymbol{v}(t)$ п $\boldsymbol{v}_{0}(t)$ точек $P$ и $O$, то предыдущее выражение примет вид:
\[
\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_{0}+[\bar{\omega} \overline{O P}] .
\]

Мы получили, таким обравом, выражение скорости любой точки движущейся твердой системы; нужно принять во внимание, что точка $O$ также может быть выбрана в движущейся системе совершенно произвольно; что касается векторов $\boldsymbol{v}_{0}$ и $\bar{\omega}$, то первий из них представляет скорость точки $O$, второй же определяется равенством (24); таким образом, оба эти вектора представляют собою функции только от времени, которые в частных случаях могут оказаться постоянными.
1) С. Д. Пуасеон (Siméon Denis Poisson) родился в Питивиере (Pithiviers, Loiret) в 1781 г., умер в Париже в 1840 г., преподавал аналитическую механику в Сорбонне и сам очень активно способетвоват развитню этой дисциплины. Упоминаемые в тексте формулы находятся в его классическом трудө \»Traité de mécanique“, Paris 1831.
\[
1 \text { 1s: }
\]

Рассуждение, совершенно аналогичное тому, которое приведено в рубр. 7, устанавливает и обратное предложение: если система точек движется таким образом, что скорость каждой из них выражается формулой (26), где векторы $\boldsymbol{v}_{0}$ й $\bar{\omega}$ суть фувкции одного только времени, то взаимные расстояния точек остаются во время движения неизменными; мы имеем, следовательно, дело с твердым двпжением. Выражение (26) является, таким образом, характеристичным для твердого движения. Таким образом, по отношению к обычному неподвнжному триэдру твердое движение определено (по крайней мере, до надлежащих начальных условий), если в движущения системе совершенно пропзвольно выбрана принадлежащая ей точка $O$ и установлено два зависящих только от вџемэни вектора $\boldsymbol{v}_{0}$ и $\bar{\omega}$. Эти два вектора называютея харакеристическими векторами твердого движения по отношению к полюсу или чентру приведения; вместе с тем характеристияными для движения (вногда п просто характер :стиками твердого двпжения) называют компоненты этих двух векторов по подвияным оеям координат.

В предыдущей рубрике мы ввели уже обозначения $p, q, r$ для компонент (по подвижным осям) вектора а; теперь обозначим компоненты вектора $\boldsymbol{v}_{0}$ через $u, v, w$; проектируя уравневие (25) почленно на подвижные оси, мы получим так называемые эйлеровы уравнения:
\[
\left.\begin{array}{c}
v_{x}=u+q z-r y, \\
v_{y}=v+r x-p z \\
v_{z}=v+p y-q x .
\end{array}\right\}
\]

Компоненты $u, v, w$ в кора $v_{0}$, имеющего по неподвижным осям компоненты $\dot{\alpha}, \dot{\beta}, \dot{\gamma}$, могут быть выражены формулами:
\[
\left.\begin{array}{c}
u=\boldsymbol{v}_{0} \boldsymbol{i}=\dot{\alpha} \alpha_{1}+\dot{\beta} \beta_{1}+\dot{\gamma} \gamma_{1}, \\
v=\boldsymbol{v}_{0} \boldsymbol{j}=\dot{\alpha} \alpha_{2}+\dot{\beta} \beta_{2}+\dot{\gamma} \gamma_{2}, \\
w=\boldsymbol{v}_{0} k=\dot{\alpha} \alpha_{3}+\dot{\beta} \beta_{3}+\dot{\gamma} \gamma_{3} .
\end{array}\right\}
\]
21. Мгновенное распределенне скороэтей и тангенциальное винтовое движөние. Из двух характеристических векторов $\boldsymbol{v}_{0}$ и $\bar{\omega}$. твердого движения по отношению к данному полюсу (связанному с системой) первый, по самому своему определению, уже имеет точно установленное кинематическое значение; әто скорость точки $O$. Кинематическая интерпретация второго вектора вытекает из следующих соображении. Если обозначим через $\boldsymbol{v}_{0}^{*}$ и $\omega^{*}$ вначения, которые принимают векторы $\boldsymbol{v}_{0}$ п $\bar{\omega}$ в определенный момент $t^{*}$, то соотношение (26) дает для сюорости произвольной точки $P$ в этот момент выражение:
\[
\boldsymbol{v}=v_{0}^{*}+\left[\overline{\omega^{*}} \overline{O X}\right] .
\]

Сопоставляя это с формулой (17) рубр. 14, мы заключаем, что распределение скоростей различных точек системы $S$ в момент $\tilde{t}^{*}$ такое же, какое имело бы место, если бы тело совершало равномерное переносно-вращатәльное движение, т. е. винтовое движение; последняя формула выражала бы при этом разложение движенпя в несобственном значении слова на переносное со скоростью $\boldsymbol{v}_{0}{ }^{*}$ и вращательное с угловой скоростью $\omega^{*}$ вокруг оси, проходящей через точку $O$ параллельно вектору “* $^{*}$ п $_{4}$ переносящейся париллельно себе самой со скоростью $\overline{\mathfrak{v}}_{0}{ }^{*}$.

Как векторы $v$ и б вообще меняются с течением времени, так изменяется и это винтовое движение; в каждый момент оно дает место такому же распределенг, скор стей твердого движения. Поэтому его называют тангенииальным винтовым движением твердого движения в рассматриваемый момент. Называя вместе с Маджи ${ }^{1}$ ) мгновенное распределение скоростей состоянием движения (atto di moto), мы можем нє основании предыдущих соображений сказать, что всякое состожние твердого движения является винтовым.

Из изложенного следует, что вектор $\vec{\omega}$ можно в каждый мาмент рассматривать, как угловую скорость соответствующего тангенциального движения; повтому вектор — просто называют угловой скоростью твердого движения в данний момент. Прямая, проходящая через точку $O$ параллельно вектору $\bar{\omega}$ (т. е. ось слагающего вращения при несобственноы разложении тангенциального винтового движения, отнесенного к точке $O$ ), назы вается мновенною осью вращения относительно полюса $O$. Ось тангендиального винтового движения, которая в каждый момент параллельна вектору $\bar{\omega}$, называетея просто осью или центральной осью движения в рассматриваемый момент ${ }^{2}$ ). Центральная ось двнжения, естественно, вообще меняет свое положение с течением времени как по отношению к подвижным, так и по отношению к неподвижным осям координат. По самому своему определению, она в каждый момент представляет геометрическое место точек, в которых скорость в этот момент паралтельна мгновенной угловой скорости; поэтому на основе соотношений (27) ее уравнения по отношению к подвижным осям суть:
\[
\frac{u+q z-r y}{p}=\frac{v+r x-p z}{q}=\frac{w+p y-q x}{r} .
\]

Центральная ось движения остается неопределенной только в тө моменты, в которые состояние двнжения становится чисто переносным.
22. Мгновенное движение системы $S$, т. е. совокупность әлементарных смещений $d P=\boldsymbol{v} d t$, которые отдельные ее точки
1) Maggi, Geometria del movimento, Bologna 1927, гл. IIl.
2) Существование осей движения было в первый раз указано Юлием Модци (Giulio Mozzi) в 1766 г.

совершают в интервале от $t$ до $t+d t$, выражается на основе соотношения (26), если примем во внимание, что $v_{0} d t=d \bar{\Omega} \bar{O}$ и через $\bar{\Psi}$ обозначим бесконечно малый вектор $\bar{\omega} d t$, векторным уравнением
\[
d P=d \overline{Q O}+[\overline{\bar{\top}} \overline{O H}]
\]

оно показывает, кап әто смещенне шолучается через сложенпе смещений $d Q O$ (очевидно, переносного, одинакового для всех тонулю для всех точек прямой, проходящих через точку $O$ параллельно направлению $\bar{\zeta}=\bar{\omega} d t$, т. е. мгноьенной оси вращения относительно точки $O$ ).

Скаляр $\psi=\omega d t$ дает в каждый момент величину слагающего әлементарного вращения.
23. Изменение характеристических векторов при изменении по лоса. Характеристические векторы движения $\boldsymbol{v}_{0}$ и $\bar{\omega}$ определены в каждый момент по отношению к данному полюсу или центру приведения $O$; таким образом, ддя одного и того же твердого движения, соответственно о ${ }^{3}$ возможным положением полюса, существует такое же многообразие в определении характеристических векторов. Их ккнематическое значение дает возможность непосредственно показать, как изменяются эти векторы с изменением положения полюса. Вектор $\bar{\omega}$, определяющий в каждый момент угловую скорость соответствующего вращательного движения, носит внутренний харагтер по отношению к заданному двнжению; если, поэтому, обозвачим через $\boldsymbol{v}_{0}^{\prime}$ и क’ $^{\prime}$ характеристические векторы движения, отнесенные к полюсу $O^{\prime}$, отличному от $O$, но, конечно, также неразрывно связанному с твердой систехой $S$, то, прежде всего, ясво, что
\[
\overline{\omega^{\prime}}=\bar{\omega} \text {. }
\]

Эта независимость характеристического вектора ј от выбора полюса может быть установлена и непосредственно. С этой целью покажем прежде всего, что угловая скорость $\omega$ не изменяется, когда мы изменяем направление подвижных осей при том же полюсе $O$. В самом деле, обозначим через а* угловую скорость, вычисленную по отнощению к новому координатному трпэдру (с тем же началом $O$ ). Скорость произвольной точки $P$ движущейся системы выразитея в зависимости от того, отнесена ли система к одному или к другому трнэдру формулами:
\[
v_{0}+[\bar{\omega} \overline{O P}] \text { илп } \boldsymbol{y}_{0}+\left[\overline{\omega^{*}} \overline{O P}\right] \text {. }
\]

Приравнивая эти два выражения одного и того же вектора, получим тождество:
\[
[\bar{\omega} \overline{O P}]=\left[\overline{\omega^{*}} \overline{O P}\right] \text { или }\left[\left(\bar{\omega}-\overrightarrow{\omega^{*}}\right) \overline{O P}\right]=0 .
\]

А так как оно должно оставаться в силе для любого вектора $\overline{O P}$, то отсюда непосредственно вытекает (I, рубр. 23):
\[
\overline{\omega^{*}}=\bar{\omega} \text {. }
\]

Теперь перенесем полюс из точки $O$ в $O^{\prime}$. Чтобы показать, что и в этом случае вектор $\bar{\omega}$, выражаемый формулой (24), не изменится, возьмем сначала оси, параллельные осям прежнего триәдра; так как при этом не изменятся основные версоры, то не изменится и определяемый ими по формуле (23) вектор $\bar{\omega}$.

Иначе обстоит дело при сравнении первых характеристических векторов $\boldsymbol{v}_{0}$ и $\boldsymbol{v}_{0}^{\prime}$; если вектор $\boldsymbol{v}_{0}^{\prime}$ отнесен к точке $O^{\prime}$, т. е. выражает скорость точки $O^{\prime}$, то в силу соотношения (26):
\[
\left.\boldsymbol{v}_{0}^{\prime}=\boldsymbol{v}_{0}+\overline{\left[\omega O^{\prime}\right.}\right]=\boldsymbol{v}_{0}+\left[\overline{O^{\prime} O_{\omega}} \bar{\omega}\right] .
\]

Припоминал выводы рубр. 39, гл. I, мы придем к ваключению, что при изменении полюса характеристические векторь $\bar{\omega} \boldsymbol{u} \boldsymbol{v}_{0}$ твердого движения неняются созериенно так же, как меняются главный вектор и илавный можент системь приложенных векторов при изменении центра приведения.

Таким образом результаты, полученные в гл. I относительно приведения систем приложенных векторов, непосредственно дают соответствующие предложения относительно состояния движения твердых систем. Центральная ось системы векторов, как геометрическое место точек, в которых главный момент системы параллелен главному вектору, дает в этом случае ось тангенциального винтового движения, т. е. ось твердого движения, ₹ которой мы, таким образом, пришли новым путем.

Поступательная скорость вдоль оси движения выражается в этом случае наименьшим моментом системы піриложенных векторов (I, рубр. 43):
\[
\frac{\mathfrak{v}_{0} \bar{\omega}}{\omega}=\frac{u p+v q+u r}{\sqrt{p^{2}+q^{2}+r^{2}}} .
\]

Наковед, исчезновение в определенный момент инвариантного трехчлена:
\[
\boldsymbol{v}_{0} \bar{\omega}=u p+v q+w r=0
\]

выражает условпе, необходимое и достаточное для того, чтобы обращалась в нуль либо угловая скорость, либо поступательная скорость по оси движения; иначе говоря, это условие определяет моменты, в которые движение становится либо чисто переносным, либо чисто вращательным.
24. Твердые движения с неподвижной точкой или параллельние неподвлжной пиоскости. Легко показать, что для того и другого типа движений инварнавтный трехчлен $\boldsymbol{v}_{0} \bar{\omega}$ обращается тождественно в нуль.

В самом деле, если при твердом движении спстеми остается неподвижной некоторая ее точка, то мы можем принять әту точку $O$ за дентр приведения; тогда $\boldsymbol{v}_{0}=0$ и вмеоте с тем $\boldsymbol{v}_{0} \bar{\omega}=0$. Угловую скорость $\bar{\omega}$ мы при әтом, конечно, можем считать отличной от нуля, ибо з противном случае при $\boldsymbol{v}_{0}=0$ мы имели бы состояние покол; поэтому, в силу заключительного замечания предыдущей рубрики, мы можем сказать, что во все время двпжения оно является чисто врашательным вокруг оси, проходящей через точку $O$ и меняющей свое положение от момента к моменту.

Во вторую очередь рассмотрим движение, параллельное некоторой неподвижной плоскости. Мы можем себе представить осуществленше этого рода движения так, что некоторая плоскость $p$, неразрывно связанная с системон $S$, остается в неподвижной плоскости $\pi$. Если мы примем $p$ и $\pi$ за плоскости координат $x y$ и $\xi$, то версор $k$ будет постоянным, так как он все время будет оставаться перпендикулярным к постоянной плоскости. Следовательно, в силу соотношений (25) рубр. 19 :
\[
p=q=0 ;
\]
т. е. угловая скорость — также постоянно перпендикулярна к плоскости $\xi_{\text {. }}$. Так как, с другой стороны, скорость полюса $v_{0}$, как и скорость любой другой точки движущейся системы, остаетея параллельной тои же плоскости $\xi_{\eta}$, то мы отсюда заключаем, что инвариантный трехчлен $\bar{v}_{0} \bar{\omega}$ равен нулю; а это означает, что состояние нашего движения в каждый момент является либо чисто поступательным (параллельным плоскости $\xi_{\eta}$ ), либо чисто вращательным (вокруг оси, перпендикулярной $₹$ этой плоскости).

На этом последнем типе двнжений мы остановимся подробно позже, в гл. V.
25. Состояние движения, составленного нз нескольких движепий. В случае Движения, составленного из нескольких движений, состояние движения определяетсл тем, что его скорость представляет собой сумму скоростей составляющих движений При непосредственном изучении состояния движения, составленного из нескольких движений, важно, прежде всего, улснить себе следующее очевидное положение. Если $\boldsymbol{v}_{0}^{\prime}$ и $\bar{\omega}^{\prime}$, $\boldsymbol{v}_{0}^{\prime \prime}$ и $\bar{\omega}^{\prime \prime}$ суть хараєтеристические векторы слагающи движений относительно одного и того же подюса $O$, так что скорости пронавольной точки $P$ внражаютея формулами
\[
\boldsymbol{v}_{0}{ }^{\prime}+\left[\bar{\omega}^{\prime} \overline{O P}\right] \text { п } \boldsymbol{v}_{0}^{\prime \prime}+\left[\bar{\omega}^{\prime \prime} \overline{O P}\right]^{\prime},
\]

то скорость той же точки в сложном движении выражается формулой:
\[
\boldsymbol{v}_{0}{ }^{\prime}+\boldsymbol{v}_{0}{ }^{\prime \prime}+\left[\left(\overline{\omega^{\prime}}+\overline{\omega^{\prime \prime}}\right) \overline{O P}\right]
\]
т. е. характеристическе векторь движения, составленного из нескольких движений, равны каждый сумме соответствующих векторов составляющих движений, предполагая, конечно, что все движения отнесены к одному и тому же полюсу.

26. Чтобы дать интереспый пример сложения движений, рассмотрим два вида тверцых движений с общеи́ неподвижной точкой $O$; оба движения, таким образом, представляют собою вращения волруг осей, проходящих через общую точку 0 . В обоих составляющих движениях первый қарактеристический вектор равен нулю; если поэтому обозначим через $\bar{\omega}^{\prime}$ и $\bar{\omega}^{\prime \prime}$ соответствующие угловне скорости, то состояние составленного движения будет иметь относительно полюса $O$ характеристические векторы $\boldsymbol{v}_{0}=0$ и $\bar{\omega}=\overline{\omega^{\prime}}+\overline{\omega^{\prime \prime}}$; иными словами, движение, составленное из двух вращений вокруг осей, проходящих через оо́иую точку, представляет собою вращение вокруг оси, проходящей через ту же точку; оно имеет угловую скоросін, равную сумме угловых скоростей составляющих двиэсений.

Этот результат сопоставим с выводами рубр. 12 о сложении конечных вращений вокруг пересекающихся осей. В то время как там составленное движение оказывалось вращательным только в специальном случае вращений вокруг постоянных осей, мы здесь пришли к выводу, что в бесконечно малые промежутки времени движение, ссставленное из двух вращепий (бесконечно малых) вокруг сходящихся осей, всегда представляет собою вращение вокруг оси, проходящей через ту же точку.
27. Аналогичный результат имеет место при сложении вращений вокруг параллельных осей.

Пусть $\bar{\omega}_{1}$ и $\bar{\omega}_{2}$ будут угловые скорости двух таких вращений, $O_{1}$ и $O_{2}$ — две точки на соответствующих осях $r_{1}$ и $r_{2}$. Предположим сначала, что векторы $\bar{\omega}_{1}$ п $\bar{\omega}_{2}$ не равно-противоположны (т. е. не обращены в противоположные стороны, имея общую длину); за полюс характеристических векторов обоих этих движений примем центр 0 двух параллельных векторов $\bar{\omega}_{1}$ и $\bar{\omega}_{2}$, приложенных соответственно в точках $O_{1}$ и $O_{2}$. В этой точке $O$ характеристические векторы слагающих движений будут (рубр. 23):
\[
\left[\overline{O O}_{1} \bar{\omega}_{1}\right], \bar{\omega}_{1} \text { и }\left[\overline{O O}_{2} \bar{\omega}_{2}\right], \bar{\omega}_{2} ;
\]

таким образом, слагая эти движения, мы придем к новому двиэению, состояние которого определяется характеристическими векторами
\[
\left[\overline{O O}_{1} \bar{\omega}_{1}\right]+\left[\overline{O O}_{2} \bar{\omega}_{2}\right] \text { и } \bar{\omega}_{1}+\bar{\omega}_{2} \text {. }
\]

Но так как $O$ есть центр векторов $\bar{\omega}_{1}$ и $\bar{\omega}_{2}$, приложенных в точках $O_{1}$ и $O_{2}$, то первый из характеристических векторов составленного движения равен нулю (I, рубр. 52, 53). Таким образом, складывая два движения, носящие в определенный молент характер вращений вокруг параллельных осей $r_{1}$ и $r_{2}$, со скоростями $\bar{\omega}_{1} u \bar{\omega}_{2}$, не равно-противоположными, мъ получим врацательное дөижение со скоростью $\bar{\omega}_{1}+\bar{\omega}_{2}$, ось которого параллельна осяль $r_{1} \quad$ и $\boldsymbol{r}_{2} ;$ по свойству чентра овух параллельных приложенных некторов эта ось лежит в плоскости прямых $r_{1} \quad u \quad r_{2} u$ делит.

расстояніе между ними в отношении $\omega_{1} u \omega_{2}$, притом внутреннее в одну и ту же сторожу или в противоположные стороны.

Обратимся теперь к тому случаю, когда векторы $\bar{\omega}_{1}$ и $\bar{\omega}_{2}$ равно-противоположны, т. е. $\bar{\omega}_{1}+\bar{\omega}_{2}=0$; приложенные в точках $O_{1}$ и $O_{2}$, они образуют, таким образом, пару. В этом случае примем за щентр приведения одну из точек $O_{1}$ или $O_{2}$, — скажем, пля определенности, $O_{1}$. Для выражения состояния каждого дзшжения получим в этом случае характеристические векторы:
\[
\bar{\omega}_{1} \text { и }\left[{\overline{O_{1}}}_{2} \bar{\omega}_{2}\right], \bar{\omega}_{2} ;
\]

характеристические векторы слөжного движения будут:
\[
\left[\bar{O}_{1} \bar{O}_{2} \bar{\omega}_{2}\right], \bar{\omega}_{1}+\bar{\omega}_{2} ;
\]

таг как, однако, $\bar{\omega}_{1}+\bar{\omega}_{2}=0$, то мы заключаем, что составленное движение в этон случае будет чисто поступательным; оно направлено перпендикулярно к плоскости осей $r_{1}$ и $r_{2}$ слагающих двиюежий, скорость же его равна моменту пары угловых скоростей $\overline{\omega_{1}} u \bar{\omega}_{2}$, помешенных каждая на соответствующей оси.
28. Распределение ускорений движущейся твердой системы. Векторное выражение этого распределения мы получим, диференцируя по $t$ уравнение (26) рубр. 20, отнесенное к неподвижным осям. Мы придем тогда к формуле:
\[
\left.a=\dot{\boldsymbol{v}}_{0}+\dot{\overline{\mathrm{\omega}}} \overline{O F}\right]+\left[\bar{\omega}\left(\boldsymbol{v}-\boldsymbol{v}_{0}\right)\right] .
\]

Здесь $\boldsymbol{v}_{0}$ есть ускорение точки 0 ; мы его обозначим поэтому через $a_{0}$. Разность $\boldsymbol{v}-\boldsymbol{v}_{0}$ по той же формуле (26) равна [ $\bar{\omega} \overline{O P}$. В рубр. 8 мы уже рассматривали әто двойное векторное пропзведение и припли к заключению, что оно равно- $2 \overline{Q P}$, где $Q$ есть проекция точки $P$ на ось вращения. Это выраженне нужно подставить вместо него и в формулу (29); нужно только иметь в виду, что под осью вращения адесь следует разуметь прямую, параллельную вектору ю, проходящую через точку $O$, т. е. мгновенную ось, соответетвующую рассматриваемому моменту $t$.
Выполняя подстановку, получим:
\[
a=a_{0}+[\bar{\omega} \overline{O P}]-\omega^{2} \overline{Q P} .
\]

Эта формула содержит выражение (12) рубр. 8 как частный случай. Первые два слагаемые правой частю обусловливаются переменным характером характеристических векторов; третье же слагаемое зависит в каждый момент исключительно от тангенциального винтового движения; оно совпадает с ускорением, которое имело бы место в случае равномерного вращения вокруг мгновенной оси действительного вращения с угловой скоростью, которую действительно движенне имеет в этот момент.

7. Эйлеровы углы.
29. Возвратимся к определению положения твердой системы Мы уже тироко пользовались тем очевидным соображением, что для этого достаточно определить положение относительно $9 \xi \eta$ триэдра $O x y z$, неразрывно связанного с системой $S$; и мы знаем, что положение трнәдра Охуz, денствительно, определено, если установлены относительно $Q \xi \zeta$ координаты начала $O$ и три основные единичные вектора $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ или, что то же, соответствующие девять направляющих косннусов $\alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}(i=1,2,3)$; әти последние не независимы, а связаны известными шестью соотношениями (71), приведенными в рубр. 10 гл. I. Таким образом, в качестве независимых параметров нужно было бы принять, кроме координат $\alpha, \beta, \gamma$, еще три из девяти косинусов $\alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{l}$, выбранные таким образом, чтобы остальные в силу упомянутых соотношений в них непосредственно выражались. Но отчасти из соображениӥ геометрической наглядности фигуры, отчдсти для удобства аналитических выводов оказывается более целесообразным пользоваться другими элементами.

Поскольку начало подвижного триәдра Охуz мы сумеем выбрать, считаясь с тем, чтобы координаты $\alpha, \beta, \gamma$ точки $O$ получили напболее простое выргжение, речь будет итти, собственно, о том, чтобы наити способ для удобного определения подЕижных осей относительно триәдра $Q \xi \eta_{1}^{\prime}$, т. е. положения относительно него другого триәдра $\Omega x у z$, оси которого выходят из точки $Q$, но параллельны подвижным осям хуz (фиг. 46).

Мы нсключим сначала случай, когда плоскости $x y$ и $\xi_{\eta}$ совпадают, т. е. когда обе оси $\zeta$ и $z$ принадлежат одной и той же прямой. При этом условии рассмотрим пересечение этих плоскостей $x y$ и $\xi_{\eta}$; прмая, по которой эти плоскости пересекаютея, перпендикулярна к осям $\zeta$ и $z$, а поәтому перпендикулярна также и к плоскости $2 \zeta z$. Эта прямая, ориентированная таким образом, чтобы угол $z(<\pi)$ ориентированных осей $\zeta$ п $z$ представлался по отношению к ней правосторонним (т. е. чтобы правосторонним было вращение, приводящее ось $ь$ в совмещение с z), назнвается линией узлов п обознатается через $N$. Угол $\widehat{\zeta}$, который заключается, как уже было сказано, между $O$ и (а в рассматриваемнх условиях отличен также от предельных значений $O$ и $\pi$ ), называется углои нутации или просто кутаиией; он обыкновенно обозначается через $\theta$.

Под углом прецессии $\psi$ разумеют аномалию $\widehat{\xi N}$ двух ориентированных прямых $\xi$ и $N$ (измеряемую в правую сторону по отношению к оси (); наконед, под уллом поворота ф разумеют аномалию $\widehat{N x}$ оси $x$ относительно линии узлов (измеряемую, как обычно, справа налево относительно оси $z$ ). Два угла ? и $\psi$, которые оба имеют характер аномалии, измеряются каждый в пределах от 0 до $2 \pi$ (с исключением верхнего предела).

Определенные таким образом три угла 9 , $\rho$ и 4 называются әйлеровыми углами триэдра Охуz (или любого триэдра, ему параллельного и одинаково с ним ориентированного) относительно триәдра Q६ү. Легко убедиться, что и, обратно, если даны произвольно взятые значения углов $\theta$, 甲 п $\psi$ но подчиненные уиловиям
\[
\left.\begin{array}{l}
0<0<\pi, \\
0 \leqslant 0<2 \pi, \\
0 \leqslant \psi<2 \pi,
\end{array}\right\}
\]

В самом деле, угол предессии $\psi$ определяет на плоскости $\xi \eta$ положение ориентированной линии узлов $N$; вслед за этим в плоскости, перпендикулярной к $N$ в точке $\Omega$, определяется положение оси $z$, которая образует с осью $ь$ угол нутации $\theta$ (отсчитываемый в сторону правостороннего вращения). Наконец, в плоскости, проходящей через точку Q перпендикулярно к осп $z$ (а поэтому содержащей прямую $\Omega N$ ), ориентированная ось $x$ однозначно определена своей аномалией $\varphi$ относительно $N$. Сь $y$ после этого определяется тем, что она должна образювать с осями $x$ п $z$ ортогональный правосторонний триәдр Qxyz.

Итак, эйлеровы углы, взятые в соответствующих интервалах (31), представляют собою три, по существу своему, независимых параметра, пригодные для определения положения отноблагодаря этому, эйлеровнми углами определяется положение любой твердой системы.

В случае, который мы исключили, плоскости вү и $x y$ совпадают; угол нутации $\theta$ равен 0 или $2 \pi$; но линия узлов остаетея неопределенной, вследствие чего неопределенными остаютея и углы $\varphi$ и $\psi$. Но сумма әтих углов (в рассматриваемом случае компланарных) сохраняет определенное значение, ибо $\psi=\widehat{\xi}$, $\varphi=\widehat{N x}$, а поэтому $\varphi+\psi=\widehat{\xi x}$; этой аномалией плоскости $\zeta x$ относительно плоскости $\xi$ определяется положение триэдра Qxуz относительно Qкг. Неопределенность углов $\varphi$ и $\psi$ может быть сопоставлена с неопределенностью аномалии, которая имеет место в плоскости при полярных координатах, когда $p=0$.

Если оставим в стороне эти исключительные случаи, то эйлеровы углы твердой системы, движущейся относительно трпэдра $\xi_{1}$, представляют собою, как и координаты $\alpha, \beta, \gamma$ начала подвижного триэдра Охуz, определенные функции времени; так как движение происходит непрерывно, то и они не могут иметь никаких разрывов. Может только случиться, если твердо придерживаться пределов (31), что некоторие из виллерових углов в те или иные моменты внезапно должны будут сделать скачок от одного из крайпих свовх значений к другому, хотя это и не будет связано ни с каким разрывом в самом ходе двпжения. Но и здесь, как и в аналогичном случае плоских углов в полярных координатах (II, рубр. 14), эти пскусственные разрывы устраняютея путем отғаза от тех или иных из ограничений (31); соответственные эйлеровы углы тогда изменяются непрерывно, хотя и за пределами узких основных интервалов; этим нутем, однако (как мы это уже наблюдали относительно аномалии в плоскости), непрерывность восстанавливается ценою утраты однозначности соответствия между положением тела и эйлеровыми углами.
30. Чтобы пользоваться эйлеровыми углами в наших иеследованиях, необхддимо выразить в них девять косинусов $\alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}$. С этой целью отметим, что к триэдру $Q x y z$, к которому относятся эйлеровы углы $\theta, \varphi$, џ, можно притти, выполпяя над триэдром Qюю следующие три вращения: 1) поворот на угол $\psi$ вокруг осп $\zeta$; әто приведет к триәдру $Q \xi_{1} \eta_{1} \zeta$, в котором ось $\xi_{1}^{\prime}$ совпадет с линией узлов $N ; 2$ ) поворот на угол $\theta$ вокруг оси $\xi_{1} \equiv N$; это приведет к триэцру $Q \xi_{1} \eta_{1} z$, в котором ось $y_{1}$ будет лежать в плоскости $ь z$ так, что угол $\widehat{y_{1} z}$ будет прямым, а потому угол $\widehat{\eta_{1} y_{1}}$ будет равен $\theta$; 3) поворот на угол $\div$ вокруг оси $z$, который приведет ось $\xi_{1} \equiv N$ к совпадению с осью $x$, а потому ось $y_{1} \kappa$ совпадению с осью $y$. Эти три поворота выразятся (рубр. 9) соответственно следующими уравнениями:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\xi & =\xi_{1} \cos \psi-\eta_{1} \sin \psi, \\
\eta & =\xi_{1} \sin \psi+\eta_{1} \cos \psi, \\
\zeta & =\zeta ; \\
\xi_{1} & =\xi_{1}, \\
\eta_{1} & =y_{1} \cos \theta-z \sin \theta, \\
\zeta_{1} & =y_{1} \sin \theta+z \cos \theta ; \\
\xi_{1} & =x \cos \varphi-y \sin \varphi, \\
y_{1} & =x \sin \varphi+y \cos \varphi, \\
z & =z .
\end{array}\right\}
\]

Теперь достаточно исключить $\xi_{1}, \eta_{1}, \zeta_{1}$ из этих уравнениӥ, чтобы получить значения девяти косинусов $\alpha_{i}, \beta_{i}$, $\gamma_{i}$. Для этого достаточно подставить во вторые части первой грушпы уравнений значения $\eta_{1}$ и из второй группы, а потом-вместо $\xi_{1}$ п $y_{1}$ их значения, содержащиеся в третьей групне. В результате получим следующие выражения косинусов $\alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}$ через
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1}=\cos \varphi \cos \psi-\sin \varphi \sin \psi \cos \theta, \\
\alpha_{2}=-\sin \varphi \cos \psi-\cos \varphi \sin \psi \cos \theta, \\
\alpha_{3}=\sin \psi \sin \theta, \\
\beta_{1}=\cos \varphi \sin \psi+\sin \varphi \cos \psi \cos \theta, \\
\beta_{2}=-\sin \varphi \sin \psi+\cos \varphi \cos \psi \cos \theta, \\
\beta_{3}=-\cos \psi \sin \theta, \\
\gamma_{1}=\sin \varphi \sin \theta, \\
\gamma_{2}=\cos \varphi \sin \theta, \\
\gamma_{3}=\cos \theta .
\end{array}
\]
31. Из вышеприведенных фориул непосредственно получаются векторов $k, \bar{x}$ и $N$ осей $z, \zeta$ и линни узлов по подвижным и неподвижным осям. — Так, для вектора $k$ эти компоненти по осям триәдров $Q \xi \eta$, и $Q x y z$ будут:

а вектора $\bar{\kappa}$ :
\[
\alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3} \text { п } 0,0,1 \text {, }
\]
\[
0,0,1 \text { п } \gamma_{1}, \gamma_{3}, \gamma_{3} \text {. }
\]

Что касается вектора $N$, то мы будем представлять себе его приложенным в точке $\mathcal{Q}$; тогда его свободный конец будет иметь относительно триэдра $Q \xi_{1} \eta_{1} \zeta$, к которому отнесена первал группа уравнений (32), коордииаты $\xi_{1}=1, \eta_{1}=\zeta=0$; поәтому его компоненты относительно трнэдра О६т имеют значения:
\[
\cos \psi, \sin \psi, 0 .
\]

Аналогично этому, относительно трнәдра $Q \xi_{1}, y_{1}, z$, к которому отнесена третья группа уравнений (32), свободный конец вектора $N$ имеет координаты $\xi_{1}=1, y_{1}=z=0$; поэтому достаточно подставить эти значения в третью группу уравненит, чтобы получить следующие значения компонент вектора отюосительно триәдра Qxуz:
\[
\cos \varphi,-\sin \varphi, 0 .
\]
32. Теперь уже нетрудно найти выражение мгновенной угловой скорости, которая соответствует переходу твердого тела от положения, определяемого эйлеровыми углами $\theta$, $\varphi, \psi$, к положению, определяемому углами $0+d \theta, \varphi+d \varphi, \psi+d \psi$. Ив самого определения әйлеровых углов вытекает, что наращение $d \theta$ вутации соответствует элементарному повороту (справа налево) на угол $d^{\prime}$ вокруг линии узлов; таким же образом наращения $d \varphi$ и $d$ углов $\varphi$ и $џ$ представляют собою элементарные повороты соответственно вокруг осей $z$ и $\zeta$. Так как речь идет о мгновенных движениях, то угловую скорость с получим, складывая скорости вышеуказанных трех вращений; таким образом
\[
\vec{\omega}=\dot{\theta} \dot{N}+\dot{\varphi} \dot{k}+\dot{\psi} .
\]

Uтсюда, польвуясь выраженнями (34)-(37), а также (33), мы получим компоненты $p, q, r$ и $\pi, \%, \rho$ угловой скорости относительно триэдров $\Omega x у z$ и $\varrho \xi \eta$, именно: