21. На основе уравнения
\[
\boldsymbol{F}=m \boldsymbol{a},
\]

объединяющего принципы механики, возникает два типа задач, обратных одна другой: 1) каким-либо образом задано движение материальной точки, а также и известна ее масса; требуется найти силу, которая, действуя на эту материальную точку, была бы способна сообщить ей задавное движение; 2) задана действующая на точку сила, и требуется определить движение точки. В том и другом случае под действующей силой мы разумеем равнодействующую всех приложенных к этой точке сил.

Первая задача разрешается просто и непосредственно: прп указанных заданиях она требует только диференцирования. В самом деле, если
\[
P=P(t)
\]

есть геометрическое уравнение движения, которое по отношению к галилеевутриэдру выражхется скалярными уравнениями:
\[
x=x(t), y=y(t), z=z(t),
\]

то, в силу соотношения (5), искомая сила $F$ в функции времени выражается через
\[
m \ddot{P},
\]

илу, в компонентах, черев
\[
m \ddot{x}, m \ddot{y}, m \ddot{z} .
\]

Гораздо труднее обыкновенно бывает вторая задача, ее решение, собственно, и составляет основную задачу динамики точки. Чтобы выразить эту задачу при помощи уравнения, нужно, прежде всего, точно установить, в каком смысле и каким спо: собом мы считаем заданной силу.
22. Возвратимся снова к силе-весу, или, как мы будем впредь также говорить, к силе тяжести. Мы знаем, что эта сила имеет локальный характер: если мы рассмотрим часть пространства, окружающего землі, напрнмер, атмосферу, и представим себе, что мы в состоянии поместить в любую точку әтой части пространства тело, которое можно прннять за материальную гочку, с определенной массой, равной, скажем, единице, то в кажцой точке рассматриваемой области к нашей материальной точке будет приложена совершенно определенная сила- ее вес. Обобщая этот случан, мы можем себе представить, что в некоторой области пространства $C$ существуют такие фвзические условия, что определенная свободная материальная точка $P$, имеющая, например, массу, равную единиле, в каждой точке этой области подвергается действию вполне определенной силы $F$, которая зависит псключительно от положения этой точки. Мы сможем тогда написать:
\[
F=F(P),
\]

или, иначе, обозначая через $X, Y, Z$ – компоненты силы $F$ относительно опредлленных трех осен, а через $x, y$, $z$-координаты взятого положения точки $P$ :
\[
X=X(x, y, z), \quad Y=Y(x, y, z), \quad Z=Z(x, y, z) .
\]

Всякая сила такого рода называетея позиционной; соверщенно естественпо рассматривать такого рода силу, как заданную, коль скоро установлеп вектор, представляющий собою функцию $\boldsymbol{F}(P)$, выражапоую эту силу, отнесенную к единице массы.

Понятие о позиционной силе допускает непосредственное обобщение. Мы к этому придем, если представим себе, что физические условия, которые в некоторой части пространства $C$ определяют силу $\boldsymbol{F}$, действующую на помещенную в определенном ее месте материальную точку, изменяются с течелием времени; в этом случае сила $\boldsymbol{F}$, отнесенная к единице массы, будет рункцией не только от точки приложения $P$, но и от времени $t$, т. е
\[
\boldsymbol{F}=\boldsymbol{F}(P \mid t),
\]

или, в координатах:
\[
X=X(x, y, z \mid t), Y=Y(x, y, z \mid t), Z=Z(x, y, z \mid t) \text { 。 }
\]

Можно итти и дальше в порядке обобщения; может случиться, что в области $C$ сила $F$ зависит не только от точки приложения и от времени, но и от мгновенной скорости, с которой материальная точка, несущая единицу массы, приходит в рассматриваемый момент в это положение: иначе говоря, может иметь место соотнонения:
\[
\boldsymbol{F}=\boldsymbol{F}(P, \dot{P} \mid t)
\]

или, в координатах:
\[
\left.\begin{array}{l}
X=X(x, y, z ; \dot{x}, \dot{y}, \dot{z} \mid t), \\
Y=Y(x, y, z ; \dot{x}, \dot{y}, \dot{z} \mid t), \\
Z=Z(x, y, z ; \dot{x}, \dot{y}, \dot{z} \mid t) .
\end{array}\right\}
\]

Можно было бы представить себе силы, следующие законам еще более общего характера, например, зависящие от ускорения, a также от последовательных пропводных (векториальных) от ускорения; так әто, например, действительно имеет место в так называемых явлениях последействия. Но в теоретической механике обыкновенно ограничиваются рассмотрением сил типа (9), так как таковыми в подавляющем большинстве случаев являются силы, с которыми нам приходится встречаться в природе.

Но аналогии с тем, что мы, согласно приведенному выше определению, понимали под данной позиционной силой в простейшем значении этого слова, мы и вдесь будем считать, что сила рассматриваемого общего типа задана, если нам известны функции, составляющие правые части уравнений (9) и (10); совершенно ясно, тто позиционные силы (7), а также силы типа (8) входит в состав этой последней категории сил как частные случаи.
2\%. Двизущие силы и сопротивления. Пасенвпые сопротивления. Установим здесь некоторое различие между силами качественного характера. Если точка находится в движении и $\boldsymbol{F}$ есть сила или одна из сил, производящих это движение, то говорят, что $\boldsymbol{F}$ есть движущая сила или сопромивление по отношению к рассматриваемому движению в данный момент в зависимости от того, образует ли $F$ в этот момент с напраглением движения острый или тупой угол.

Из самого этого определения явствует, что одна и таже позиционная сила может оказаться, в зависимости от обстоятельсівв, то движущей силой, то сопрөтивлением. В самом деле, если мы фикеируем определенную точку нашей области, то сила в ней будет одна и та же, с какой бы скоростью через нее ни проходило движущееся тело; достаточно переменпть сторону, в которую эта скорость обращена, чтобк движущая сила оказалась сопротивлением, и обратно. Таким образом, в частности, вес тела представляет собой движущую силу, когда тело падает вниз, и сопротивление, когда оно поднимается вверх.

Влрочем, в природе существуют некоторые силы, которыө никогда не проявляются в качестве движущих сил. Такие силы получили название пассивных сопротивлений. Типичными примерами әтого рода сил являются разлитные сопротивления среды (например воздуха п воды) или трения, вызываемые соприкосновением движущегося тела с другими материальными телами. Они всегда действуют в направлении, противодействующем движению, т. е. в сторону, противоположную скорости точки, если речь идет только о движении материальной точки.
24. Силовые поля. Прежде чем пойти дальше, целесообразно присоединить еще некоторые соображения относительно позиционных сил.

Часть пространства $C$, в которой определена позиционная сила, называется силовым полем; вместе с тем, под силой поля в любой его точке $P$ разумеют гу силу $\boldsymbol{F}$, которая в этой точке действовала бы на единицу массы и которая поэтому геометрически совпадает с соответствующим ускорением.

Силовое поле является однородным, если соответствующая сила во всем поле остается постоянной (по величине и направлению), т. е. не изменяется от точки к точке; так это, например, имеет место, по крайней мере, с весьма большим приближением в случае силы тяжести, если рассматривается настолько малая область вемли, что в ней можно пренебречь изменением направления вертикали.

В этом случае вектор, представляюпий силу поля, есть хорошо нам известный вектор $g$; на тело (материальную точку) с массой $m$ действует, как мы знаем, вес $m g$, представляющий собой пронзведение силы поля на массу материальной точки. Экспериментально установлено, что в полях, которые действительно именот место в природе, осуществляется аналогичное обстоятельство, т. е. если $\boldsymbol{F}$ есть сила поля в данном ее пункте (это значит – сила, которая действует на помещенную в ней единицу массы), то сила, которая в том же пункте действует на произвольную массу $m$, выражается через $m \mu$.

Этот экспериментальный факт обыкновенно выражают так: весокая или гравитационная масса(т. е. коэфициент, на который нужно умножить силу поля, чтобы получить силу, действующую на рассматриваемое тело) тожо́етвенна с инертной нассой, т. ө. определяющей отношение между ускорением и силой (рубр.16). В дальнейшем, когда мы будем говорить о силовых полях, мы всегда будем иметь в виду такие, в которых это совпадениө гравитационной и инертной массы действительно имеет место.
25. Силовые линии поля. Чтобы получить геометрический обрав того, как в данном поле меняется соответствующая сила $F$, целесообразно пользоваться так называемыми линиями сил, пли силовъли линиями поля.

Возьмем некоторую часть силового поля, притом такую, в которой сила $F$ вовсе не обращается в нуль. Исходя из какойлибо произвольной точки $P_{0}$, провөдем через нее вектор, представляющий действующую в этой точке силу, и на нем возьмем другую точку $P_{1}$, весьма близкую к $P_{0}$. На ливии действия силы, приложенной в $P_{1}$, которая вообще будет отлична от $P_{0} P_{1}$, вновь выберем точку $P_{2}$, весьма близкую к $P_{1}$, опять в направлении дейстующей силы. Этот процесь мы будем продолжать, пока он не выведет нас ва пределы поля или не возвратит нас в исходную точку $P_{0}$.

Этим путем мы получим ломаную линию $P_{0} P_{1} P_{2} P_{3} \ldots$, сконструированную таким образом, тто сила, действующая в каждой из ее верщин, направлена по примыкающей к этой вершине стороне. Если точки $P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}, \ldots$ неограниченно друг к другу приближаются, то в пределе получается линия (обыкновенно кривая) $\lambda$, в каждои точке которой действующая сила поля $F$ направлена по касательной к кривой. За сторону, в которую кривая обращена, принимают ту, в которую обращена действующая сила.

Каждая линия $\lambda$, построенная таким образом, называется линией сил, или силовой линией поля. Из самого продесса построения силовых линий ясно, что через каждую точку поля проходит одна, и только одна, силовая линия.

Постараемся выразить силовые линии поля аналитически. Для этого заметим, что они характеризуются тем условием, что әлементарное смещение $d P$ вдоль любой йз них от какой-либо ее точки должно иметь то же направление и ту же сторону обращения, чго и сила поля $F$ в этой точке $P$; таким образом, силовые линии в каждой части поля, в которой сила не обращается в нуль, определяются совокупностью $\infty^{2}$ интегральных кривых системы диференциальных уравнений:
\[
\frac{d x}{\overline{\mathrm{X}}}=\frac{d y}{Y}=\frac{d z}{Z} .
\]

Эта система эквивалентна системе двух уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями, зависящими от одной независимой переменной; так, например, если $Z$ не обращается тождественно в нуль, то эта система имеет вид:
\[
\frac{d x}{d z}=\frac{X}{Z}, \quad \frac{d y}{d z}=\frac{Y}{Z} .
\]

Здесь $z$ играет роль независимой переменной, $x$ и $y$ суть неизвестные функции; система интегралов $x=x(z), y=y(z)$, определяющая силовые линии, в конечном виде будет содержать две произвольные постоянные, которыми мы можем распорядиться так, чтобы $x$ и $y$ приняли предуказанные значения для произвольно выбранного вначения $z$. Геометрически это значит, что рассматриваемая силовая линия проходит через указанную точку поля. Наличие двух постоянных в так называемых уравнениях силовых линий показывает, что мы имеем здесь дело с системой $\infty^{2}$ кривых, одна, и только одна, из которых проходит через любую заданную точку поля (в которой $Z
eq 0$ ).

Для однородного поля, даже для всякого поля, в котором сила от места $\kappa$ месту сохраняет одно и то же направлевие, силовыми липиями служат параллельные прямые. Напротив, если сила поля постоянно направлена к неподвижному центру $O$, то силовыми линиями служат прямне, образующие связку с дентром в той же точке $O$.
26. Консервативные силы. Среди силовых полей по причинам, которые мы лучше выясним в следующем параграфе, наиболее замечательны те, в которых скалярное произведение $F d P$ силь поля $\boldsymbol{F}$ на произвольное әлементарное смещение $d P$ точки ее приложения $P$ представляет собой полный диференциал некоторой функции $U$ от $P$, точнее-от ее координат $x, y$, $:$ :
\[
\boldsymbol{F} d P=d U \text {. }
\]

Такого рода силовне поля называются консервативными функция $U(x, y, z)$, которую мы будем считать однозначной, конечної, непрерывной и допускающей во всем поле производные, по крайней мере, до второго порядка зключительно, называют потенциалом, или силовой (функцией поля ${ }^{1}$ ).

Заметим здесь, что если некторая функция $U$ удовлетворяет требованию (11), то ей удовлетворяют и все функции вида $U+c$, где $c$ означает аддитивную произвольную постолнную. В конкретных случаих әтой постоянной обыкновенно пользуютея для того, чтобы присвоить потенциалу $U$ в заданной точке определенное, заранее предписанное значение, например нуль.

Характеристическое свойство (11) консервативного силового поля совершенно не зависит от системы отсчета; оно остается в силе, как бы мы ни выбрали триәдр, к которому относим силовое поле. Наконец, если напишем уравнение (11) в раскрытой форме:
\[
X d x+Y d y+Z d z=\frac{\partial U}{\partial x} d x+\frac{\partial U}{\partial y} d y+\frac{\partial U}{\partial z} d z,
\]

и заметим, что әто тождество должно иметь место для каких угодно значений әлементарного смещения $d x, d y, d z$, то придем к заключению, что
\[
X=\frac{\partial U}{\partial x}, \quad Y=\frac{\partial U}{\partial y}, \quad Z=\frac{\partial U}{\partial \dot{\partial}} .
\]

Полезно будет здесь отметить, что это предложение допускает более общее выражение; именно: производная от силовой функии, взятая в каком угодно направлении, представляет собой не что иное, гак компоненту силь поля по этому направлению ${ }^{2}$ ). Чтобы оправдать әто утверждение, достаточно воспользоваться любым из уравнений (12), например первнм: оно именно и выражает, что производная от $U$ по оси $x$ представляет собой компоненту силы поля по этой осп; но, с одной стороны, как мы знаем, соотно-
1) Некоторые авторы называют фунццию $U$ исключительно последним термином (силсвой функцией), сохраняя нанменование потендиалов для функций – $U$.
2) Cм. приложение IV, ${ }^{\circ}$ градиенте скалярной функции и градиентном векторном поле“. (Ред.)

шения (12) останутся в силе, как бы мы ни выбрали координатные оси, а с другой стороны, за ось $x$ мы можем принять любую прямую. Но то же можно доказать и непосредственно, основываясь на соотношении (11) п на определении ориентированной производной ${ }^{1}$ ). В самом деле, под производной, взятой в данном направлении, понимают предел отношения наращения функции $U$ при смещении в этом направлении к длине самого смещения (точнее, это есть предел этого отношения, когда смещение стремится $₹$ нулю). Если теперь обозначим черев $\boldsymbol{n}$ версор, соответствующий смещению $d^{\prime}$, а через $d s$ – беск нечно малую длину такого смещения, то соотношенпе (11) можно написать в внде:
\[
F n \cdot d s=d U ;
\]

разделяя обе части на $d s$, мы получаем равенство, которое нам нужно было доказать, ибо отношение двух диференциалов $\frac{d U}{d s}$ как раз представляет собой прсизводную функцию $U$ в направлении $\boldsymbol{n}$, а $\boldsymbol{F} \boldsymbol{n}$ (I, рубр. 20) представляет компоненту силы $\boldsymbol{F}$ по тому же направлению.

Так как уравнения (12) представляют собой непосредственные следствия соотношений (11) или (11), то консервативное поле может быть определено уравнениями (12); иными словами, под консервативным полем разумеют такое силовое поле, в каждой точке которого составляюцие сплы поля по координатным осям представляют собой чаетные производнье некоторой функции, положения точки приложения (потенциала).
27. Исключая функцию $U$ из уравнений (12), мы находим три уравнения:
\[
\frac{\partial Y}{\partial z}=\frac{\partial Z}{\partial y}, \quad \frac{\partial Z}{\partial x}=\frac{\partial \mathrm{X}}{\partial z}, \quad \frac{\partial \mathrm{X}}{\partial y}=\frac{\partial Y}{\partial x} ;
\]

они обнаруживают, как ато должно быть, собственно, известно из анализа, что существование потенциала (т. е. тот факт, что $X d x+Y d y+Z$ dз предетавляет собой полный диференциал) налагает ограничительные условия на функции $X, Y, Z$ от переменных $x, y, z$; дугими словами, позиционная спла $F$, вообще говоря, неконсервативна.
В качестве примера можно положить:
\[
X=-y, \quad Y=x, \quad Z=0 ;
\]

поле, определяемое этими уравнениями, несомненно, неконсервативно, потому что разность
\[
\frac{\partial X}{\partial y}-\frac{\partial Y}{\partial x}=-2
\]

не равна нулю, как это должно иметь место всякий раз, когда потенциал существует.
1) Читатель найдет это доказательство в упомянутом приложении IV, приведенное в иной кондепдии. (Ред.)

Очень важно заметить, что при определении консервативных сил мы предполагаем как предварительное условие качественного свойства, что функция $U(P)$, удовлетворяющая уравнениям (11), однозначна, т. е. в любой точке $P$ она пмеет одно единственное значение, где бы эта точка $P$ ни была взята на всем протяжении поля. Однако это ограничение (относящееся к природе функции или, если угодно, к размеру рассматриваемого поля) вполне согласуется с тем, что мы обыкновенно предполагаем относительно функций, рассматриваемых в әлементах анализа; и в большинстве случаев этого вполне достаточно для механических приложений; но в некоторых случаях приходится, одиако, отказаться от ограничительного предположения однозначности функций на всем протяженип поля (ср., например, случай d) в рубр. 29).
28. В консервативном поле, имеющем потенциал $U$, поверхHOCT
\[
U=\text { const, }
\]

называютея эквипотенциальния поверхностями, или поверхностями уровня; это суть поверхности, на каждой из которых потенциал имеет во всех ее точках одинаковое значение; ещө пначе: каждая эквипотенциальная поверхность может быть рассматриваема как геохетрическое место точек, в которых потенциал имеет заданное значение. Через каждую точку $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ поля проходит одна, и только одна, эквипотенциальная поверхность; ее уравнение имеет вид:
\[
U(x, y, z)=U\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) .
\]

Если точка прнложения сплы получает элементарное смещение $d P$ по эквипотенциальной поверхности, проходящей через се первоначальное положение $P$, то
\[
F d F=0,
\]

так как потенциал $U$ вдоль эквипотенциальной поверхности сохрапяет постоянное значение; но это овначает, что сила $\boldsymbol{F}$ перпендикулярна к смещению $d P$. Так как это справедливо, каково бы ни было элементарное смещение $d P$ по этой эквипогенциальной поверхности, то мы отсюда заключаем, что в любой точке сила нормальна к проходящей через эту точку эквипотенцильной поверхности; иными словами, в консервапивном поле силовыми линиями служат ортогэнальные траеттории эквипотенчиальных поверхностей.
29. Iримеры консервативных полей. а) Всякое однородное поле является консервативным.

В самом деле, если $\boldsymbol{F}$ есть сила (постоянная по величине, паправлению и стороне обрапения), то достаточно выбрать ось $z$, по направленпо и стороне обращения совпадающей с $\boldsymbol{F}$, и мы получим:
\[
\boldsymbol{F} d P=\boldsymbol{F} d z,
\]

$32 \overline{0}$
а это есть полный диференциал. Иптегрируя, находим, что потенциал до аддитивной постоянной выражается через $F z$; следовательно, эквипотенциальными поверхностями служат плоскости, перпендикулярные $\kappa$ постолнному направлевию силыВ частности, для силы веса (если за ось $z$ примем вертикаль, обращенную вниз) потенциал, отнесенный к единице массы, выражается через $g z$ (также, ковечно, до аддитивной постоянной).
b) Далее, рассмотрим поле, в котором сила имеет постоянное направление, напряжение же ее зависпт только от расстояния точки ее приложения от некоторой постоянпой плоскости, перпендикулярной к направлению сил. Если эту плоскость примем за координатную плоскость $x, y$, то компоненты силы по осям $x$ и $y$ будут равны нулю, третья же компонента будет определенной функции $\varphi(z)$ одной только координаты $z$; мы будем повтому иметь:
\[
F d P=\varphi(z) d z ;
\]

интегрируя от начального значения $z_{0}$, выбранного совершенно произвольно, найдем, что потенциалом будет служить функция от одной только переменной $z$ :
\[
\int_{z_{0}}^{z} \varphi(z) d z
\]
(опять-таки, конечпо, до произвольной постоянной); эквипотенциальными поверхностями и здесь будут служить плоскости, перпендикулярные к постоянноиу направлению силы.
с) Рассмотрим, наконец, силовое поле, в котором в каждой точке $P$ сила $F$ направлена к некоторой постоянной точке $O$, напряжение же ее в каждой точке зависит исключительно от расстояния $p=O P$ этой точки от центра $O$ (центральная сила). Такого рода сила $F$ в отдельных точках поля может быть обращена от центра $O$ к точке приложения (сила отталкивания) или в противоположную сторону (сила притяжения). Мы будем обозначать через $\rho(\rho)$ компоненту силы $\boldsymbol{F}$ по ориентированному направле. нию $O \dot{P}$; иными словами, функция $\varphi$ сама по себе будет иметь положительное или отрицательное значение в зависимости от того, является ли сила отталкивательной или притягательной. Во всяком случае, скалярное произведение $F d P$ можно выразить, как произведение компонент $F$ п $d P$ по тому же самому ориентированному направлению $O P$; мы будем, следовательно, иметь
\[
F d P=\varphi(\rho) d \rho .
\]

Интегрируя этот полный диференциал от произвольно взятого значення $\rho_{0}$, мы получим для потенциала, как всегда с точностью до произвольной постолннои, функцию от одной только переменной:
\[
U(\rho)=\int_{\rho}^{\rho} \varphi(\rho) d \rho .
\]

Эквипотенциальные поверхности выражаются в этом случае уравнениями:

или, что то же,
\[
\begin{array}{c}
U(\rho)=\text { const. }, \\
\rho=\text { const. }
\end{array}
\]

Яспо, что это суть концентрические сферы с общим центром в точке $O$; силовыми же линиями, как уже было указано в рубр. 25, служат прямые связки, выходящие из того же центра.
d) Дадим еще пример потенциала, не однозначного во всем полө, в котором имеет место соотношение (11); и сначала покажем такой пример в двумернсм поле, которым послужит всл плоскость Oxy.

Введем снова полярные гоординаты $\rho$ п $\theta$ (с полюсом $O$ и полярной осью $O x$; эти координаты с декартовыми будут, таким образом, связаны уравнениями: $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ ). Положим, что сила поля $F$ в процзвольной точке $P$, отличной от начала $O$, определена следующим образом: по направлению она перпендикулярна к радиусу-вектору $O P$ п обращена в сторону возрастающих аномалий; напряжение же ее выражается через $\frac{k}{\rho}$, где $k$ есть постоянная. Мы исключили начало, поскольку это определенне силы в гачале координат оказалось бы дефектным (направлешие неопределәнное, напряжение бесконечно больное).

Скалярное пропзведение $\boldsymbol{F} d \mathrm{P}$ мы можем вычислить как произведение из напряженности силы $\frac{k}{p}$ на компоненту рдя смещения по нашравлению $\boldsymbol{F}$ (II, рубр. 19); мы получим, очевидно, $k d \theta$, так что произведение $k 0$ можег быть рассматриваемо как потенциал поля. Если для аномалпи $0_{0}$ в отдельной точке $P_{0}$ зафиксируем пропзвольно одно из ее значений, например, то, которое содеряится между нуләм и $2 \pi$, в качестве значения пөременной 0 , а следовательно, зафиксируем и $U=k 0$, то в каждой другой точке $P$ знатение потенциала может быть получено непрерывным пзменением $\theta$, исходя от значения $\theta_{0}$; для этого нужно перейти от точки $P_{0}$ к точке $P$ по какой-лисо непрерпвной кривой. Однаю) при этом, поскольку мы рассматриваем Есю плоскость (с пзъятием одной только точки $O$ ), совершенно ясно, что функция $U=k \emptyset$ уже не будет однозначной в каждой точке; в самом деле, ес- и будем исходить из точки $P$ с определенным значенпем 0 п обойдем по замкнутой -кривой вокруг начала, перемещаясь все время в одну и туже сторону, то мы вновь придем к точке $P$ со значением функции, увеличенным или уменьшенным на $2 \pi k$ при каждом обороте вокруг начала. Но тот же потендиал $U=k^{\prime}$ остается все-таки однозначным в каждой точке поля, если мы принимаем за поле действпя силы нө всю плоскость, но ограниченную часть ее, из которой исключена точка $O$ и которая имеет такую связность, что в ней невозможно обойти начало (не покидая этой областй ${ }^{1}$ ).

Этот пример легко перенести на трехмерное пространство. Д :я этого достаточно для каждон точки $P$ с координатами $x, y, z$ взять ее проекцию $Q$ с координатами $0,0, z$ на ось $z$ и параллель, т. е. окружность, имеющую центр в точке $Q$ и проходящую через $P$ в плоскости, перпендикулярной к оси $z$. Сила $F$ в точке $P$ определяется, как в предыдущем случае, в плоскости параллели. Во всех точках прямой, параллельной оси $z$, мы будем иметь, таким образом, один и тот же вектор $F$.

Если вместо декартовых координат $x, y$, $z$ возьмем так называемые цилиндрические координаты $\rho, \theta, z$, где $\rho$ и $\theta$, как выше, представляют собою не что иное, как полярнне координаты относительно $x$ и $y$, т. е. связаны с декартовыми соотношениями $x=r \cos \theta$ и $y=r \sin \theta$, то мы вновь получим для потенциала выражение $U=k \theta$; эта функция однозначна в ограниченной части поля, но не во всем пространстве, так как она возрастает на $\pm 2 k \pi$ после каждого оборота в одну или другую сторову вокруг оси.