5. Другим важным типом твердого движения является вращательное движение. Вращательным называется такое твердое движение системы, при котором остаются неподвижными точки некоторой прямой, называемой осью вращения. Чтобы реализовать такого рода двнжение, очевидно, достаточно вследствие твердостй систе»ы, закрепить две точки оси. Еслп в подвижной спстеме $S$ возьмем произвольную точку $P$ вне оси вращения, то перпендикуляр $P^{\prime} Q$, опущенный пз нее на ось, вследствие твердости системы будет во все время вращения сохранять свою длину и будет оставаться перпєндикулярным к осп; это значит, всякая точка системы $S$, лежащая вне оси, будет двнгаться в плоскости, перпендикулярной к оси, по окружности, пмеющей центр $Q$ на самой оси. Положение системы $S$, врацающейся вокруг оси $z$, определяется в каждый момент положением одной ее точки $P$ (на соответствущей круговой траектории) или, что, по существу, то же, положением некоторой полуплоскости $p$, отходящей от оси п твердо связанной с системой $S$; положение же этой полуплоскости можно определять, указывая для каждого момента ее аномалию $\theta=\widehat{\pi p}$ относительно определенной полуплоскости $\pi$, १.кже отходящей от оси $z$, но твердо связанной с неподвижным координатным триэдром. Чтобы присвоить этим аномалиям (измеряемым в радианах) внак, мы ориентируем ось вращения в определенную сторону и будем считать углы $\theta$ положительными в ту сторону, которая соответствует правостороннему вращению вокруг ориентированной оск.

Во время движения аномалия $\theta$ движущейся полуплоскости $p$ представляет собой определенеую функцию времени $\theta(t)$; как обыкновенно, мы будем считать эту функцию однозначной, непрернвной и диференцируемой (допускающей, по крайней мере, производние первого и второго шорядка). И здесь,-как мы әто уже делали в случае плоского движения, выраженного в полярных координатах,-чтобы не допустить привходящей разрывности функции $\theta(t)$, мы примем, что аномалия $\theta$ может непрерывно изменяться и за пределы интервала от 0 до $2 \pi$ (которого, по существу, достаточно для определения всевовможных положений полуплоскости $p$ ).

Если в течение некоторого промежутка времени $\Delta t$, аномалия $\theta$ полуплоскости $p$ изменяется на $\Delta \theta$, то все точки, очевидно, описывают в этот промежуток $\Delta t$ на соответствующих снотеме $S$ ғруговых траекториях дуги, когорым соответепвует при центре угол $\Delta$; $^{2}$ взяв поэтому
\[
\lim _{\Delta \mathrm{t} \rightarrow 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t}=\frac{d \theta}{d t}=i \mathrm{j},
\]
щейся пвердой систель илеют ту же улловіло скорость.

Прџ установленпых положения эта угловая скорость $\dot{\theta}$ (представляющая собой только функцию времени) своим знаком-положительным пли отрицательным-определяет в каждый момент, является ли движение правостороним или левосторонним (конечно, относнтельно ориентированной осп).

Своей угівой скоростью вращательное движение определяется (по крайней мере, до надлежащих начальншх условиӥ), если известна ось вращения. Угловая скорость, о которой вдесь идет речь, представляет собою скалярную величину. Но, чтобы ее отобразить совместно с направлением оси, обыкновенно вводлт вектор $\bar{\omega}$, шмеющий во всякий момент $t$ длину $\dot{\theta}(t)$ п направленный по осн вращения в ту ее сторону, по отношению к которой вращение является правосторонним. Этот вектор $\bar{\omega}$, длина которого обыкновенно меняется (в функции времени), но направление готорого остаетея постолнным, называется векторной угловой споростью вращательного движения. Когда говорит иросто об угловой скорости вращательного движения, то имеют в виду именно әту векторную скорость. Скалярная же угловая скорость $\dot{\theta}$, очевидно, служит компонедтой угловой скорости $\bar{\omega}$, по ориентировавной оси врашения $z$. Еелі обозначим через $\boldsymbol{k}$ версор әтой оси, то
\[
\bar{\omega}=\dot{\theta} k \text {. }
\]

Фиг, 45.
6. Вектор іо позволяет просто выразить векторную скорость $g$ любой точки $P$ вращающейся сиетемы (фиг. 45). Так как точка $P$ движется по окружности в плосюости $\pi$, перпендикулярной к оси, вокруг точки $Q$ (относительно проекции точки $P$ на ось $z$ ) с угловой скоростью $\dot{\text {; }}$, то напрлжение ее скорости равно $\dot{\theta} \cdot Q P$ (II, рубр. 33), она направлена по касательной к окрулности, имеюцей центром точку $Q$ и радиус $Q P$; эта касательная перпендикулярна как к $\overline{Q P}$, так и к вектору $\bar{\omega}$. Сверх того,вектор $\boldsymbol{v}$, как уетановлено в предыдущей рубрике, имеет относительио – правостороннее направлепие; отсюда непосродетвенно получается для скорості провәвольной точки $P^{\prime}$ внраление:
\[
\boldsymbol{v}=[\bar{\omega} \cdot \overline{Q \mathrm{O}}]
\]

В этой формуле, кроме точки $P$, скорость которой мы желаем выразить, фигурирует еще ее проекция $Q$ на ось $z$, которая, вообще, меняется вместе с $P$. Но эту точку $Q$ можно әлиминировать, вводя вместо нее проиввольную постоянную точку $Q$ на оси вращения. Как бы точка $Q$ ни была выбрана,
\[
\overline{Q H}=\overline{Q Q}+\overline{Q P}
\]

подставляя это выраженне в гредыдущую формулу п вамечая, что векторное произведение параллельных векторов $\bar{\omega}$ и $\overline{Q Q}$ равно нулю, мы приходим к выводу, что скорость любой точки $P$ вращающегося пространства выражается формулой:
\[
\boldsymbol{v}(t)=[\bar{w}(t) \overline{\bar{\Omega}}],
\]
вления.
7. Выражение (10) скорости является характерным для вращательного движения (поскольку выполнены условшя, установленные для $Q$ и $\bar{\omega}$ ). В самом деле, если спстема двнжется таким образом, что скорость каядой точки выражается формулой (10), то для любих двух еє точек $P_{1}$ и $P_{2}$ будем иметь:
\[
v_{1}=\left[\begin{array}{ll}
\vec{\omega} & \overrightarrow{Q P}_{1}
\end{array}\right], \quad v_{2}=\left[\begin{array}{cc}
\vec{\omega} & \overline{\mathrm{QP}}
\end{array}\right] ;
\]

вычитая почленно первое равенство нз второго, получим:
\[
\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{v}_{1}=\left[\bar{\omega} \overline{P_{1} P_{2}^{\prime}}\right]
\]

Но вектор $\left[\bar{\omega} \overline{P_{1} P_{2}}\right]$, по определению, перпендикулярен $к P_{1} P_{6}$; умножая поэтолу обе части этого равенства скалярно на $\bar{P}_{1} P_{2}^{\prime}$, получим:
\[
\left(\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{v}_{1}\right) \bar{P}_{1} \bar{P}_{2}=0,
\]
т. อ.
\[
\left[v_{2} \bar{P}_{1} \bar{P}_{2}\right]=\left[v_{1} \overline{P_{1} P_{2}}\right]
\]

это же соотношение, имеющее место для любых двух точек спстемы, как мы видели в рубр. 2, устанавливает, что движения твердое.

Но из соотношения (10) вытекает также, что это двияение вращательное; в самом деле, оно обнаруживает, что все точки $P$, для которых вектор $\overline{Q P}$ параллелен постолнному направлепит $\omega$ (т. е. точки прлмои, проходящей через $Q$ и паралледьнол вектору $\bar{\omega}$ ), пмеют скорость, равную нулю, т. е. остаютея ненодвияными.
8. Выражепі дла ускорения пронзвольной точки $P$ врацающейся твердой системы можно получить, как мы это и сделаем ниже, путем диференцирования по $t$ характеристического выражения (10) скорости дижения; но очень поучительно такяе получить ускорение, учитниал то обстолтельство, что каждал, точка системы $S$ совершает плоское круговое движение. Для этого достаточно припомнить (II, рубр. 26) общие выражения $\ddot{s}$ и $\frac{v^{2}}{r}$ тангенциальной п нормальной слагающих ускорения. Нормальная компонента, осевидно, совпадает с центростремительным ускорением – $a_{\rho}$. Принимая во внимание, что $\dot{s}=p \dot{\theta}$ и что $\rho$ остается постолнным, сохраняя значение раднуса круговой траектории $r$, мы находим:
\[
\because \ddot{s}=\rho^{\ddot{i}}, \quad a_{\rho}=-\rho \dot{j}^{2} .
\]

Здесь $\ddot{s}$ есть слагающая ускорепия $a$ точки $P$, как обыкновенно, по тангенциальному версору $\boldsymbol{t}$ круговой траектории, ориентированному в сторону возрастающих аномалий. Версор $t$ имеет направление скорости $v$ точки $P$, но обращен в’ту же сторону или в противоположную, смотря по тому, имеет ли $\dot{\theta}$ положительное или отрицательюе значение. Скорость же $\boldsymbol{v}$, согласно формулам (9) и (10), мы можем представнть в виде:
\[
v=\dot{\theta}[k \overline{Q P}] \text {. }
\]

С другой стороны, так как скалярная скорость точки $P$ нмеет значение $\dot{\theta}$, то $\boldsymbol{v}=\rho \dot{\theta} t$, а поэтому
\[
t=\frac{1}{\rho}[k \overline{\Omega P}] .
\]

Умножая обе части этого равенства на $\ddot{s}=\rho \ddot{\theta}$, мы получим для тангенциальной компоненты ускорения $a$ выражение:
\[
\dot{\mathrm{A}}[\boldsymbol{k} \overline{\mathrm{QP}}] \text {, }
\]

или, принимая вновь во внимание соотношение (9):
\[
[\dot{\bar{\omega}} \overline{\mathrm{Q} P}] \text {. }
\]

Что касается нормальной компоненты, то для ее вычисления нужно, прежде всего, выразить версор орпентированного направления $Q P$; он равен $\frac{\overline{Q P}}{P}$.
$У_{\text {множая его на }} a_{p}=-\rho \dot{\theta}^{2}$, получим пскомую помпоненту в форме:
\[
-\dot{\theta}^{2} \overline{Q P}=-\omega^{2} \overline{Q P} .
\]

Складывая теперь обе слагающие ускорения, мы получим искомое выражение ускорения произвольной точки вращающейся твердой системы:
\[
a=[\dot{\bar{\omega}} \overline{Q I}]-\omega^{2} \overline{Q P} .
\]

Эту же формулу, как уже указано выше, можно получить и непосредственно формальным путем, диференцируя формулу (10). В самом деле:

а так кағ $\overline{Q P}=\boldsymbol{\sigma}$, то
\[
\boldsymbol{a}=[\dot{\bar{\omega}} \overline{\mathrm{QP}}]+[\bar{\omega} \boldsymbol{v}] .
\]

Так как вектор $\boldsymbol{v}$ выражается формулой (10), то здесь достаточно подставить әто выражение во второй член формулы (12′) и воспользоваться разложением двойного векторного произведения (26) гл. I, чтобы получить соотношение (12). В самом деле, по формуле разложения:
\[
[\bar{\omega} \boldsymbol{v}]=[\bar{\omega}[\overline{\omega P}]]=\bar{\omega}(\bar{\omega} \overline{Q P})-\overline{Q P} \cdot \omega^{2} .
\]

С другой стороны, согласно формуле (9),
\[
\bar{\omega}(\bar{\omega} \overline{Q P})=\dot{\theta}^{2} \boldsymbol{k}(\boldsymbol{k} \overline{\Omega P}) .
\]

Но, с одной стороны, $\boldsymbol{k} \overline{\mathrm{QP}}$ есть численное значение проекции вектора $\overline{\Omega P}$ на ось $k$, а $k(k \overline{Q P})$ есть сама проекция вектора $\overline{\Omega P}$ на ось $k$, т. е. вектор $\overline{\Omega Q}$; с другой стороны, по той же формуле (9), $\dot{j}^{2}=\omega^{2}$; а потому
\[
[\omega \tau]=\omega^{2} \overline{Q Q}-\omega^{2} \overline{Q P}=\omega^{2} \overline{P Q}=-\omega^{2} \overline{O P} .
\]

Полезно выполнить то же вычисление и иным путем. Векторы $\overline{P Q} \bar{\omega}$ и $\boldsymbol{0}$ обравуют ортогональный правосторонний триэдр. Поәтому вектор [юv] имеет направление в сторону обращения вектора $\overline{P Q}$. С другой стороны, длина вектора $v$ равна $\omega P Q$, а потому длина вектора $[\omega \boldsymbol{v}]$ равна $\omega^{2} P Q$. Поэтому векторы $[\bar{\sigma} \boldsymbol{v}]$ и $\omega^{2} \overrightarrow{P Q}$ имеют одинаковую длину, одно и то же направление и ту же сторону обращения. Вместе с тем,
\[
[\omega \boldsymbol{v}]=\omega^{2} \overline{P Q}=-\omega^{2} \overline{Q P} \text {. }
\]

Подставляя это в формулу (12′), получаем для $a$ выраэение (12).

Если угловая скорость ш постоянна, т. е. не только сохраняет постоянное направление, но имеет п постоянную длину, то каждая точка $P$ системы совершает равномерное круговое движение (со скоростью $v$ ), которая от точки к точке меняется пропорционально расстоянию ст осн; твердое движение называется, в этом случае, равномерным ьращением. Ускорение в этом случае сводится к своей центростремительной слагающей:
\[
a=-\omega^{2} \overline{Q P}
\]

9. Чтобы из уравнений (2) получить уравнения вращателтного движения в возможно более простой форме, целесообразпо выбрать оси $z$ и $\zeta$ неподвижного и подвижного триэдров таг, чтобы обе они совпадали с осью вращения. Совместив, далее, точку $Q$ с $O$, выберем полуоси $x$ и таг, чтобы они лежали соэтветственно в полуплоскостях $p$ и $\pi$ (первая подвижная, вторая неподвижная), которые мы взяли в рубр. 5 для определения соответствующей каждому моменту аномалии $\theta(t)$. Тогда очевидно:
\[
\widehat{\xi x}=\theta(t), \quad \widehat{\xi y}=\theta(t)+\frac{\pi}{2} ;
\]

пместе с тем $\boldsymbol{k}$ есть постоянный вектор с компонентами
\[
a_{3}=0, \beta_{3}=0, \gamma_{3}=1
\]

версоры же $\boldsymbol{i}$ и $\boldsymbol{j}$ вследствие соотношений (13) будут иметь комігоненты:
\[
\begin{array}{lll}
\alpha_{1}=\cos \theta, & \beta_{1}=-\sin \theta, & \gamma_{1}=0 ; \\
\alpha_{2}=\sin \theta, & \beta_{2}=\cos \theta, & \gamma_{2}=0 .
\end{array}
\]

А так как $\alpha=\beta=\gamma=0$, то мы получим как частный случай общих уравнений (2) для всякого вращательного движения вокруг осп $\zeta=z$ следующие урсвнения:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\xi & =x \cos \theta-y \sin \theta, \\
\eta & =x \sin \theta+y \cos \theta, \\
\zeta & =z,
\end{array}\right\}
\]

где, конечно, 0 есть определенная функция времени. Диферепцируя уравнения (14) дважды по времени, мы получим скалярпые формулы, соответствующие соотношениям (10) и (12); точнее, мы получим уравнения, выражающие компоненты обеих частей этих равенств на оси Qگћ.

В частности, если вращение происходит равномерно, то $i= \pm \omega$, где $\omega$ есть постолнная, которую нужно взять со знаком 十 или-, смотря по ориентации оси, т. е. в зависимости от того, является ли движение относительно положительной оси $z$ правосторонним или левосторонним. При этих условиях, диференцируя уравнения (14), мы получим для компонент скорости и ускорения по неподвижным осям выражения:
\[
\begin{array}{ll}
\dot{\xi}=-\omega \gamma, & \dot{\eta}= \pm \omega \xi, \quad \dot{\zeta}=0, \\
\ddot{\xi}=-\omega^{2} \xi, \quad \ddot{\eta}=-\omega^{2} \eta, \quad \ddot{\zeta}=0 .
\end{array}
\]

Небесполезно отметить, что отсюда, как и непосредственно из формул (10) и (12), получапотея для аналогичных компонент скорости и ускорения по шодвижным осям выражения:
\[
\begin{array}{ll}
a_{i}=-\omega y, & v_{y}= \pm \omega x, \quad v_{z}=0, \\
a_{x}=-\omega^{2} x, & a_{y}=-\omega^{2} y, \quad a_{z}=0,
\end{array}
\]