44. В теории механизмов играет важнуг роль относительное движение двух фигур $F$ п $F^{v}$, свободно вращающихся вокруг неподвижных центров $O$ и $O^{\prime}$.

Обозначим через $\triangle$ расстояние $O O^{\prime}$, через $\omega$ и $\omega^{\prime}$-абосолютные значения угловых скоростей; прнмем во внимание, что эти вращения в пронзвольно взятый момент могут оказаться:
a) противонаправленними, т. е. происходящими в противоположные стороны относительно $O$ и $O^{\prime}$;
b) сонаправленными, т.е. обращенными в одну и ту же сторону (фиг. 69).
Займемея огносительным движением фигуры $F^{\prime \prime}$ по отношению к $F$, имея в виду главным обравом сопоставление скоростей в один и тот же данный момент.

Если будем рассматривать произвольную точку $P$ плоскости как принадлежащую фигуре $F$, то ее скорость $v$ перпендикулярна к $O P$ и имеет величину шр, где $\rho$ есть расстояние $O P$; сторона, в которую скорость обращена, зависит от того, в какую сторону происходит самое вращение.

Совершенно так же, если рассматривать точку $P$ как принадлежащую к фпгуре $F^{\prime}$, то она будет иметь скорость $\boldsymbol{v}^{\prime}$ перпендикулярную к $O^{\prime} P$; абсолютная величина (напряжение) этой
скорости равна $\omega^{\prime} \rho^{\prime}$, где $\rho^{\prime}=O^{\prime} P$. Относптельная скорость той же точки, т. е. соответствующая движению фигуры $F^{\prime}$ относительно $F$, будет, таким образом, равна
\[
\boldsymbol{v}^{\prime}-\boldsymbol{v} .
\]

Поэтому относительная скорость может обращаться в нуль тюлько в том случае, когда направления скоростей $v^{\prime}$ и $v$ совпадают, т. е. когда точка $P$ принадлежит прямой $O O^{\prime}$.

Мгновенный центр $I$ двпжения фигуры $F^{\prime}$ относительно $F$ нужно, следовательно, искать на линии центров.

Для определенности предположим, что мы здесь имеем дело со случаем а), т. е. с противонаправленными вращениями.

В этом случае, для каждой точки $P$, лежащей внутри отрезка $O \circ$, скорости $\boldsymbol{v}$ и $\boldsymbol{v}^{\prime}$ не только обе перпендикулярны к прямой $O O^{\prime}$, но и обращены в одну и ту же сторону. Поэтому разность $\boldsymbol{v}^{\prime}-\boldsymbol{v}$ может быть равна нулю только в том случае, если равны длины обоих векторов, т. е. если
\[
\omega_{p}=\omega^{\prime} \mathrm{i}^{\prime},
\]

где к тому же
\[
p+p^{\prime}=\Delta \text {. }
\]

Таким образом мгновенный центр $I$ определяется, как та точка отрезка $O O^{\prime}$, которая его делит обратно пропорционально численным значениям угловых скоростей.

Переходя к случаю b), мы видим, что теперь точка $I$ должна лежать вне отрезка $O O^{\prime}$, п притом так, что отношение $\frac{I O}{1 O^{\prime}}$ должно быть равно $\frac{\omega^{\prime}}{\omega}$. Точка $I$ стремится поэтому удалиться в бесконечность, когда $\omega^{\prime}$ и о стремятся к совпадению.

К тому же выводу можно бнло притти более кратким путем, замечая, что движение фигуры $F^{\prime}$ относительно $F$ можно рассматриват’ь как составленное из двух. вращений вокруг $O^{\prime}$ и $O$. Основываясь на сложении вращательных движений вокруг параллельных осей (II, рубр. 2i), мы наидем ось результируюцего движения, а вместе с тем центр плоского движения.
45. Установив все это, возьмем произвольный промежуток времени, в течение которого точка $I$ остается всегда на конечном расстоянип, и рассмотрим две полярные траектории, т. е. геометрическое место $\lambda$ точки $I$ относительно фигуры $F$ и аналогичное геометрическое место $l$ той же точки относительно $F^{\prime 1}$ ).

Случай, когда $\omega$ и $\omega^{\prime}$ имеют постоянные значения, и притом, в случае сонаправленных двнжений неравные между собой, исчерпывается непосредственно. В сазом деле, из предыдущего витекает, что точка $I$ всегда остается на одном и том же расстоянии как от точки $O$, так и от точкв $O^{\prime}$; полярными траекто-
1) Т. е. кривую $\lambda$, вычерчиваемую гочкой $I$ на фигуре $F$, п кривую $l$, выचеричаемую той же точкой на фнгуре $F^{\prime}$. (Ред.)

риями $\lambda u l$ служат две окружности. Относительное движение является в этом случае эпииикииеским; все выводы предыдущего параграфа, в частности ите, которне относятся к сопряженным профилям, находят себе здесь применение.

В исключенном выше случае сонаправленных и равных вращений (III, рубр. 27) относительное движение оказалось бн просто поступательным.
46. Перейдем к общему случаю неравномерных вращений и здесь ограничимся следующей проблемой: задана кривал $\dot{\lambda}$, трео́уется разыскать соответствуюшую кривую $l$.

Предположим, что кривая $\lambda$ определена своим уравнением в полярных координатах
\[
p=f(\theta),
\]

где и $ө$ отнесены к полюсу $O$ и к полярной оси $O A$, неизменно связанной с фигурой $I$; функция $f(
vdash)$ остается совершенно произвольной.
Мы имеем в виду разыскать аналогичное уравнение кривой
\[
\rho^{\prime}=f^{\prime}\left(f^{\prime}\right),
\]

отнесенной к полюсу $O^{\prime}$ и полярной оси $O^{\prime} A^{\prime}$, неразрывно связанным с фигурой $F^{\prime}$.

Рассмотрим произвольную точку $P$ кривой $l$ и остановимся на том моменте $t$, в который эта точка, вследствие вращения фигуры $F^{\prime}$ вокруг $O^{\prime}$, оказывается на прямой $O O^{\prime}$; она совпадает в этот момент с мгновенннм центром $I$. Для определенности предположим, что точка $I$ падает между $O$ и $O^{\prime}$; тогда
\[
p^{\prime}=\Delta-p=\Delta-f(\theta) .
\]

Теперь, чтобы определить кривую $l$, остается установить зависимость между $\theta$ и f㇒ $^{\prime}$. Эту зависимость дает найденное нами уже кинематическое соотношение
\[
\omega p=\omega^{\prime} \rho^{\prime} .
\]

В бесконечно близкий момент $t+d t$ мгновенный центр $I$ займет на кривой $i$ положение с аномалией $\theta+d \theta$, а на кривой $l$ положение с аномалией $b^{\prime}+d \theta^{\prime}$. Элементарные вращения наших двух фигур соответственно вокруг $O$ и $O^{\prime}$ по абсолютной своей величине, очевидно, составляют $\left\{d \theta_{i}\right]$ и $\left|d \theta^{\prime}\right|$; таким образом
\[
\omega d t=|d \theta|, \omega^{\prime} d l=\left|d 0^{\prime}\right| .
\]

Умножая равенство (16) на $d t$, мы в соответствии с этим получим:
\[
P|d 0|=r^{\prime}\left|d b^{\prime}\right| \text {. }
\]

При предположении, сделанном относительно положения точки $I$, елементарные вращения должны быть противонаправлены; поэтому, если положительные аномалии отсчитываютея вокруг $O$ п $O^{\prime}$ в одну и ту же сторону, то $d \theta$ п $d \theta^{\prime}$ имеют противоположные знаки; вследствге этого предыдущее соотношение получает более точное выражение:
\[
\rho d \theta+\rho^{\prime} d \theta^{\prime}=0 .
\]

Учтывая теперь уравневия кривой $\lambda$ и соотношение (15), получаем:
\[
d \theta^{\prime}=\frac{f(\theta) d \theta}{i(\theta)-\Delta} .
\]

Отсюда при помощи квадратуры получаем выражение аномалии $\theta^{\prime}$ через $\theta$. Исключая после этого $\theta$ из полученного выражения п уравнения (15), мы получим искомое полярное уравнение кривой $l$.
47. В силу соотношений (15) и (16) функции $\rho(\theta)$ и $\rho^{\prime}\left(6^{\prime}\right)$ связаны диференциальным соотношением, которое очень полезно вывести; при его помощи можно вовсе избежать действительвого интегрирования уравнения (17), так пак результат становится и без того ясным.

С этой целью продиференциоуем соотношение (15) по $\theta$ и затем разделим обе части равенства на $p$; мы получим:
\[
\frac{1}{\rho} \frac{d \rho^{\prime}}{d \theta}=-\frac{1}{\rho} \frac{d \rho}{d \theta^{-}} .
\]

Подставляя в левой части вместо о dө его значение, полученное пз соотношения ( $\left.16^{\prime}\right)$, – мы представим этот результат в более симметричном виде:
\[
\frac{d \log \mathrm{p}^{\prime}}{d \theta^{\prime}}=\frac{d \log \rho}{d \theta} .
\]

Отсюда непосредственно следует, что в том случае, когда $\lambda$ есть логарифмическая спираль, то же имеет место относительно $l$, и обратно; в самом деле, лојарифмические спирали характеризуются свойством:
\[
\frac{d \log \rho}{d \theta}=\text { const. }
\]

В силу уравнения (18) отсюда следует, что постоянное значение сохраняет также пропзводная $\frac{d \log p^{\prime}}{d \hbar^{\prime}}$.
48. Установим теперь следующее общее предложенпе: если известна одна пара полярных траекпорий $\rho=f(\theta), \rho^{\prime}=f^{\prime}\left(\theta^{\prime}\right)$, то из нее ложно получить бесчисленое миожество других пар, которые выражатося уравненияни $\rho=f(n \theta), p^{\prime}=f^{\prime}\left(n \theta^{\prime}\right)$, где $n$ есть произвольный постоянный множитель.

Чтобы это доказать, заметим следующее: если в уравнения (15) и (17) подставим $f(n \theta)$ вместо $f(\theta)$ и в то же время положим:
\[
\theta_{1}=n \theta, \theta_{1}^{\prime}=n \theta^{\prime},
\]

то они примут вид:
\[
\begin{aligned}
\rho^{\prime} & =\Delta-f\left(\theta_{1}\right), \\
d \theta_{1}{ }^{\prime} & =\frac{\left.f^{\prime} \theta_{1}\right) d \theta_{1}}{\left.f^{\prime} \theta_{1}\right)-\Delta} .
\end{aligned}
\]

Но это-те же уравнения (15) п (17), з которых только ө и $\theta^{\prime}$ заменены через $\theta_{1}$ и $\theta_{1}^{\prime}$. Им удовлетворяет, следовательно, пара кривых:
\[
\rho=f\left(\theta_{1}\right)
\]

и
\[
\rho^{\prime}=f^{\prime}\left(\theta_{2}^{\prime}\right) \text {. }
\]
уравнения этих кривых в виде:
\[
\begin{array}{c}
\rho=f(n \cdot), \\
\rho^{\prime}=f^{\prime}\left(n \theta^{\prime}\right) .
\end{array}
\]
49. Закончим следующим примером. Примем за 亡 әллипс, имеющий фокус в точке $O$ и большую ось, равную $\Delta=O O^{\prime}$ (фиг. 70).

Как на основании общих формул (рубр. 46), так и при помощи прямых геометрических соображений можно найти, что кривая $l$ представляет собою эллип, равный $\lambda$, с фокусом в точке $O^{\prime}$.

В самом деле, возьмем произвольное положение фигуры $F$ и обозначим через $I$ пересечения эллипса $\lambda$ с отрезком $O O^{\prime}$, пусть $O_{1}$ будет второй фокус эллипса $\lambda$.

Соединим $I$ с $O_{1}$ и продолжим $I O_{1}$ за точку $I$ на расстояние $I O_{1}{ }^{\prime}$, paвное $I O$. Так как по условию большая ось элииाса $i$. пмеет длину $O O_{1}^{\prime}$, то в силу оєновного фокального свойства әллипса
\[
I O+I O O_{1}=\Delta \text {, }
\]

а потому $I O_{1}$ равно $I O^{\prime}$. Нз равенства треугольников $10 O_{1}$ II $O^{\prime} O^{\prime}$ теперь следует, что $O^{\prime} O_{1}^{\prime}=0 O_{1}$.

Установив это, представим себе, что фигура $F^{\prime}$ вращается вокруг $O^{\prime}$; определенный ее луч $O^{\prime} O_{1}^{\prime}$ в гаждый момепт занимает положение, которое в силу предыдущего построения однозначно определяется положенпем фигуры $F$ при ее вращении вокруг $O$.
На этом луче точка $O_{1}^{\prime}$ всегда будет сохраняти свое положение, тан как рассояние $O^{\prime} O_{1}^{\prime}$ будет все время оставаться равным междуфокусному расстоянию $\Delta$ эллипса $\lambda$. Отсюда непосредственно вытекает, что геометрическое место точек $I$ на фигуре $F^{\prime}$ есть әллип $l$, равньй $\lambda$. В самом деле, сумма расстояний точки $I$ от двух точек $O^{\prime}$ п $O_{\prime}^{\prime}$, неизенно связанных е $F^{*}$, как раз рзвна $\Delta$.