65. Предположим, что каждому значению параметра $t$, содержащемуся в интервале между $t_{0}$ и $t_{1}$, соответствует вектор $v$, однозначно определенный.

В соответствии с таким расширением понятия о функции (со скалярных величин на векторы) иы будем при әтих условяях говорить, что вектор $v$ представляет собою фужкцию параметра (или независимой переленной) $t$ в интервале от $t_{0}$ до $t_{1}$, и будем писать $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}(t)$. Такая векторная функция $\boldsymbol{v}(t)$ называется конечной в интервале от $t_{0}$ до $t_{1}$, если в этом интервале остается конечным модуль $v(t)$; она называется непрерывной при данном значении $t$, если каждому положительному числу $\varepsilon$, как бы мало оно ни было, соответствует охатывающая это значение окрестность, для каждого значения которой $t^{\prime}$ векторная разность $\boldsymbol{v}\left(t^{\prime}\right)$ – $\boldsymbol{v}(t)$ становится по модулю меньше в.

Выбрав между $t$ и $t_{1}$ провзвольный интервал от $t$ до $t+\Delta t$, положим:
\[
\Delta \boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}(t+\Delta t)-\boldsymbol{v}(t)
\]

и рассмотрим вектор
\[
\frac{\Delta g}{\Delta t}
\]

который мы будем называть вектором среднего нарастания фунгции $\mathfrak{v}(t)$ в интервале от $t$ до $t+\Delta t$. Сохраняя неизменным зпачение $t$, будем уменьшать значение $\Delta t$, неограниченно приближая его к нулю; если при этом вектор среднего нарастания стремится к определенному вектору (в том смысле, что либо длина его стремится к нулю, и тогда предельный вектор будет нулевым, либо же как длина, так и направление стремятея соответственно к определенным предельным значениям), то әтот предел назнвается производной векторной функии $\boldsymbol{v}(t)$ для данного значения $t$ параметра и обозначаетея через $\frac{d v(t)}{d t}$ или, проще, через $\boldsymbol{v}(t)$.

Если при этои изменении вектор все вреля остается параллельным одной и той же прямой или одной и той же плоскости, то то же имееп место по отношению $\boldsymbol{x}$ разности $\Delta \boldsymbol{v}$, а потому и по отношению $к$ вектору среднего нарастания; поэтому той же прямой или той же плоскости оудет параллелен и предельный вектop $\boldsymbol{v}(t)$.

Так как вектор $\dot{\boldsymbol{v}}(t)$, в свою очередь, представляет собой функцию от $t$, то можно определить производную от векторной функции $\boldsymbol{v}(t)$; ее называют второй производной вектора $\boldsymbol{v}$ и обозначают символом $\frac{d^{2} v}{d t^{2} !}$ или $\ddot{\ddot{y}}(t)$; таким же обравом определяются производные более высоких порядков.
66. Из того факта, что вектор среднего нарастания $\frac{\Delta v}{\Delta t}$ стремится к пределу $\boldsymbol{v}$, когда $\Delta t$ стремится $к$ нулю, следует, что разность
\[
\frac{\Delta \boldsymbol{v}}{\Delta t}-\dot{\boldsymbol{v}}=\overline{\boldsymbol{e}}
\]

представляет собою бесконечно-малую, совместно со скаляром $\Delta t$ в том смысле, что длина вектора $\bar{\varepsilon}$ становится бесконечно-малой вместе с $\Delta t$. Обобщая поэтому хорошо известую терминологию исчисления бесконечно-мальх, мы можем сказать, что разность
\[
\Delta \boldsymbol{v}-\dot{\boldsymbol{v}} \Delta t=\bar{s} \Delta t
\]

представляет собою относительно $\Delta t$ бесконечно-малую порядка выше первого.

Подставляя вместо $\Delta t$, қак в анализе, $d t$, мы будем также называть диферениилом (векторной) функии $\boldsymbol{v}(t)$ произведение $\dot{\boldsymbol{v}} d t$ и будем его обозначать через $d \boldsymbol{v}$; вместе с тем, мы можем высказать предложение, совершенно совпадающее с тем, которое имеет место для скалярных функций: наращение $\Delta \boldsymbol{v}$, которое получает $\boldsymbol{v}$ в элементарном интервале $d t$, отличается от $d \boldsymbol{v}$ на бесконечно-малую порядка выше первого.
67. Если мы отнесем вектор $\boldsymbol{v}(t)$ к декартовым осям $O x y z$, то его компоненты $X, Y, Z$, очевиднс, представляют собой функции $t$;

если, сверх того, векторная фнкция однозначна, конечна и непрерывна, то, очевидно, непрерывны и скалярные функции $X(t), Y(t), Z(t)$, п обратно.
Вектор среднего нарастания функции $v$ имеет компоненты:
\[
\frac{X(t+\Delta t)-X(t)}{\Delta t}, \frac{Y(t+\Delta t)-Y(t)}{\Delta t}, \frac{Z(t+\Delta t)-Z(t)}{\Delta t},
\]
т. е. средние нарастания соогветствующих скалырных функций; отсюда следует, что существование производной $\dot{v}(t)$ влечет за собой существование производных от компоневт, и обратно. Таким образом вопрос о существовании векторных производных сводится к тому, допускают ли производные соответствующих порядков их скалярные компоненты $X, Y, Z$ и т. д.

Предыдущие соображения доказывают, кроме того, что компоненты производной $\boldsymbol{v}$ вектора $v$ выражаются скалярными проивводными $\dot{X}, \dot{Y}, \dot{Z}$; компоненты производной второго порядка $\ddot{0}$ выражаются через $\ddot{X}, \ddot{Y}, \ddot{Z}$ и т. д.
68. Из сказанного следует, что для векторного диференцирования имеют силу правила обыкновенного диференцирования. Например, производная постоянного вектора равна нулю; два вектора, имеющие равные производные, отличаются один от другого на постоянний вектор; процзводная суммы двух векторов равна сумме производных слагающих векторов; если вектор $\boldsymbol{v}$ представляет собою функцию переменной $s$, которая, в свою очередь, зависит от параметра $t$ то (правило диференцирования сложной функции)
\[
\frac{d \boldsymbol{v}}{d \vec{t}}=\frac{d \boldsymbol{v}}{d s} \frac{d s}{d t} \quad \text { п т. д. }
\]

Если $m$ означает скаляр, а $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ векторы, причем как $m$ так и $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ зависят от параметра $t$, то по отношению к произведениям трех типов:
\[
m \boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2},\left[\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}\right]
\]

применимо то же правило диференцирования, которое имеет место по отношению к обнкновенному цроизведению; это значит, имеют место формулы:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t}\left(m \boldsymbol{v}_{1}\right)=\frac{d m}{d t} \boldsymbol{v}_{1}+m \frac{d \boldsymbol{v}_{1}}{d t} \\
\frac{d}{d t}\left(\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}\right)=\frac{d \boldsymbol{v}_{1}}{d t} \boldsymbol{v}_{2}+\boldsymbol{v}_{1} \frac{d \boldsymbol{v}_{2}}{d t} \\
\frac{d}{d t}\left[\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}\right]=\left[\frac{d \boldsymbol{v}_{1}}{d t} \boldsymbol{v}_{2}\right]+\left[\boldsymbol{v}_{1} \frac{d \boldsymbol{v}_{2}}{d t}\right]
\end{array}
\]

Доказательство во всех этих случаях получается непосредственно; для первой и третьей формул достаточно обратиться к компонентам (рубр. 17 и 27) и показать, что соответствующие компоненты правой и левой частей, действительно, совдадают.

Птя доказательства второй формулы достаточно развернуть левую часть согласно формуле (1о) рји́р. 20 и констатировать, что диференцирование дает тот же результат, что и в правой части ${ }^{1}$ ).

Интересное следствие правила диференцирования скалярного произведения получим, если положим $v_{1}=v_{2}=\boldsymbol{v}$ и допустим что вектор $v$ имеет постоянную длину; тогда постоянное зшачение имеет и произведение $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}^{3}$, диференцируя которое получаем $\boldsymbol{v} \frac{d v}{d t}=0$; а это означает: производная вектора $\boldsymbol{v}$, который меняется (по жаправлению), сохраняя постоянную длину, перпендикулярна к вектору $\boldsymbol{v}$ или равна кулю.
69. Iредыдущие соображения показывают, как можно распространить на векторные функции формальные результаты диференциального исчисления.

Так, например, можно установить, как и в диференциальном исчислении, разложение, соответствующее строке Тәйлора, остановленное на проиввольном члене (правда, при несколько менее определенном выражении остаточного члена).

В первую очерөдь имеет кесто так называемая теорема о среднем значении, которая остается в силе для любой векторной функции, конечной и непрерывной, вместе со своей первой іроизводной в интервале $\left(t, t_{1}\right.$ ). Соответствующая формула (которую можно также установить, применяя разложение Тэйлора к компонентам), гласит:
\[
\boldsymbol{v}\left(t_{1}\right)=\boldsymbol{v}(t)+\left(t_{1}-t\right)\{\boldsymbol{v}(t)+\bar{\varepsilon}\} ;
\]

где $\overline{\bar{\varepsilon}}$ может быть в общем случае определено только ${ }^{2}$ ) как (векторная) функция от $t_{1}$ (и от $t$ ), конечная и непрерывная, стремящаяся $к$ нулю вместе с разностью $t_{1}-t$. При такой неопределенности функции $\vec{\varepsilon}$ соотношение (35) вносит нечто существенное только в том случае, когда $t_{1}$ стремится к $t$. С другой
1) Заметим, что в этом постоянном апеллировании к компонентам нет необходимости: каждая из әтих формул может быть доказана непосредетвенто, совершенно аналогично тому, как соответствующее соотношение доказываетея для скалярных функций. Так, если через $f$ обозначим произведение $v_{1} v_{3}$, то
\[
\begin{aligned}
f & =\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}, f+\Delta f=\left(\boldsymbol{v}_{1}+\Delta \boldsymbol{v}_{1}\right)\left(\boldsymbol{v}_{2}+\Delta \boldsymbol{v}_{2}\right) ; \\
\Delta f & =\boldsymbol{v}_{2} \Delta v+\boldsymbol{v}_{1} \Delta \boldsymbol{v}_{2}+\Delta \boldsymbol{v}_{1} \Delta \boldsymbol{v}_{2} ; \\
\frac{\Delta f}{\Delta t} & =\frac{\Delta \boldsymbol{v}_{1}}{\Delta t} \boldsymbol{v}_{2}+\boldsymbol{v}_{1} \frac{\Delta \boldsymbol{v}_{2}}{\Delta t}+\frac{\Delta \boldsymbol{v}_{1}}{\Delta t} \Delta \boldsymbol{v}_{2} .
\end{aligned}
\]

Отсюда, переходя к пределу, получим требуемое соотнощение, конечно, в предположении, что отношения $\frac{\Delta \boldsymbol{v}_{1}}{\Delta t}$ и $\frac{\Delta \boldsymbol{v}_{2}}{\Delta t}$ стремятся к конечным предетам. (Ред.)
2) В отличие от приращения скаляғной функции, где остаточный члөн может быть в аналогичном случае выражен произведением из $\frac{\left(t_{1}-t\right)^{2}}{2}$ пзначения второй производной при некотором промежуточном значении $t$. (Ред.)

стороны, разность $v\left(t_{1}\right)-v(t)$ есть не что иное, как наращение $\Delta v$; поэтому соотношегие (35) не прибавляет ничего нового к тому, что было изложено в рубр. 66.

Если предположить, далее, что в том же интервале остается конечной и непрернвной и вторая производная $\ddot{v}$, то разложенве можно продлить до второго члена, именно:
\[
v\left(t_{1}\right)=v(t)+\left(t_{1}-t\right) \dot{j}(t)+\frac{1}{2}\left(t_{1}-t\right)^{2}\{\ddot{v}(t)-\bar{s}\},
\]

где $\bar{z}$ опять-таки стремится $к$ нулю вместе с разностью $t_{1}-t_{\text {. }}$ фигурировало в (35).
70. Іредположим, что каждой точке $P$ некоторой кривой $l$ соответствует некоторый вектор $\mathfrak{v}(P)$, однозначно в этой точке определенный. Мы имеем в этом случае вектор, представляюицй собою функцию точек кривой. Но лико видеть, что әто понятие не отличается существенно от понятия о векторе как функции параметра, которое установлено више. В самом деле, представим себе, что точкам кривой $l$ однозначно и непрерывно отнесени звачения некоторого параметра, например длина $s$ дуги кривой $l$ (отсчитываемая от какон-либо постоянной ее точка в определенную сторону). Если вектор $v$ представляет собою однозначную и непрерывную функцию точки $P$, то его ножно рассматривать также как такую же функцию параметра $s$ и обратно.

Наряду с функциями точек кривой часто приходится рассматривать также функци точек поверхности или некоторой области пространстьа. Мы получим, например, векторную функцию точек поверхности, если каждой ее точке отнесем вектор определенной длипы (постоянной для всех точек или меняющейся от точки к точке), приложенный в точке $P$ и направленный по нормали к поверхности в определенную сторону.

В физике мы особенно часто встречаем векторы, явно представляющие собою фувкции точек некоторой области в пространстве. Достаточно остановиться на понятии о силовом поле, которое мы считаем настолько известным из физики, что будем им свободно оперировать в дальнейпем. Другой пример представляет собою некоторая масса движущейся жидкости, если каж дой точке области, в которой имеет место движение, отнесем вектор, выражающий направление и силу (напряжение) тока ${ }^{1}$ ).

Наконец, если дан приложенный вектор $\boldsymbol{v}$ и каждой точке $P^{2}$ пространства отнесем вектор $M$, представляющий собою момент данного вектора $v$ относительно точки $P$, то мы будем иметь векторную функцию $M$ точек пространства.

Подобно тому как векторы, представляющие собою функции гочек кривой, можно рассматризать как геометрическое изобра-
1) Здесь можно предетавить себе, что жидность занимает некоторую часть пространства, например наполняет недодвижный сосуд, а движениө заключаетея в передвижении частид жидкости внутри нее. (Ред.)

жение функции (векторной) одного параметра, так векторные функции точев поверхности ити пространственной области можно рассматривать как гельетрические функии соответспвенно двух и.ли mрех параметров. Естественно, обобщение әтих идей приводит к векторным функциям какого угодно числа параметров; совершенно ясно, как в каждом таком случае нужно понвмать непрерывность функции.