30. Выяснив, в каком смысле мы понимаем задание силы, возвратимся ко второй из проблем, перечисленных в рубр. 21. Чтобы сразу рассмотреть напболее общии случай, предположим, что сумма $\boldsymbol{F}$ всех сил, действующих на материальную точку $P$ массы $m$, зависит от положения точки, от ее скорости и, кроме того, от времени. В таком случае движение точки $P$ в силу основного соотношения динамики должно удовлетворять векторному диференциальному уравнению:
\[
m \ddot{P}=\boldsymbol{F}(P, \dot{\boldsymbol{P}} \mid t),
\]

вли же, по отношению к трем неподвижным осям, трем диференциальным уравнениям второго порядка:
\[
\left.\begin{array}{l}
m \ddot{x}=X(x, y, z ; \dot{x}, \dot{y}, \dot{z} \mid t), \\
m y=Y(x, y, z ; \dot{x}, \dot{y}, \dot{z} \mid t), \\
m \ddot{z}=Z(x, y, z ; \dot{x}, \dot{y}, \dot{z} \mid t) ;
\end{array}\right\}
\]

Отсюда ясно, что аналитпческая проблема определения движения материальной точки, вызываемого данной силой, не отличается от той задачи, которую мы уже рассматривали в кинематике, именно об определении движения точки по данному ее ускорению (II, рубр. 25).
1) Такой областью, очевидно, мо. бы элужить первый квадрант; ею не мог бы служнть круг с цептром в точке 0 .

Общин интеграл уравнения (13) или (13′) завнсит от местц произвольных постоянных; данным условиям могут, таким образом, удовлетворять $\infty^{6}$ различных движений, каждое из которых будет определено, если мы надлежащим образом зададим еще шесть дополиительных условпй. Наиболее подходящими заданиями являются указания положения точки в начальный момент $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ и ее скорости $v_{0}\left(\dot{x}_{0}, \dot{y}_{0}, \dot{z}_{0}\right)$ в тот же момент.

В пекоторых случаях возникают упрощения, непосредственно обусловливаемые данными задєчами. Например, если данная сила $F$ постоянно параллельна неподвижной плоскости, то достаточно принять плоскость $z=0$ параллельной этой неподвижной плоскости, чтобы компонента $Z$ силы $F$ оказалась тождественно равной нулю; тогда третье из уравнений (13′) принимает простую форму:
\[
m \ddot{z}=0
\]

непосредственное интегрирование дает:
\[
\dot{z}=\dot{z}_{0}, \quad z=\dot{z}_{0} t+z_{0},
\]

где $z_{0}$ и $\dot{z}_{0}$ обозначают первые две произвольные постоянные, а именно третью компоненту скорости и третью координату движущейся точки в момент $t=0$. Отсюда также вытекает в силу второго уравнения (14), что всякий раз, как начальная скорость в этих условиях задания параллельна неподвижной плоскости (т. е. когда $\dot{z}_{0}=0$ ), движение оказывается плоским.

Во всяком случае, подставив в первые два диференциальных уравнения движения (13′) выражения (14), мы приведем задачу к интегрированию двух диферендиальных уравнений с двумл неизвестными функциями $x(t)$ п $y(t)$ :
\[
\begin{aligned}
n \ddot{x} & =X\left(x, y, \dot{z}_{0} t+z_{0} ; \dot{x}, \dot{y}, \dot{z}_{0} \mid t\right), \\
m \ddot{y} & =Y\left(x, y, \dot{z}_{3} t+z_{0} ; \dot{x}, \dot{y}, \dot{z}_{0} \mid t\right),
\end{aligned}
\]

общиій интеграл которых будет содержать еще четыре дополнительных произвольных постоянных.

Аналогично этому, если сила $\boldsymbol{F}$ имеет постоянное направление, то будет целесообразно принять ось $x$ параллельной силе $F$; компоненты $Y$ и $Z$ обратятся в нуль; второе и третье из уравнений (13) примут вид:
\[
m \ddot{y}=0 \text { in } m \ddot{z}=0 ;
\]

интегрируя, мы отсюда получим:
\[
\dot{y}=\dot{y}_{0}, \quad \dot{z}=\dot{z}_{0} ; \quad y=\dot{y}_{0} t+y_{0}, \quad z=\dot{z}_{0} t+z_{0},
\]

где $y_{0}, z_{0}, \dot{y}_{0}, \dot{z_{0}}$ обозначают четыре произвольные постоянные. Если начальная скорость параллельна постоянному направлению силы, то движение окажется прямолинейным. В общем случае, если в первое из уравнений (13′) подставим полученные таким образом выражения для $y$ и $z$ (а также $\dot{y}$ п $\dot{z}$ ), то задача сведется к интегрированию одного диференциального уравнения второго порядка:
\[
m \ddot{x}=X\left(x, \dot{y_{0}} t+y_{0}, \dot{z}_{0} t+z_{0} ; \dot{x}, \dot{y}_{0}, \dot{z}_{0} \mid t\right),
\]

общий интеграл которого будет содержать еще две произвольные постоянные.
31. В заключение заметим еще, что иногда бывает целесообразным проектировать основное уравнение (13) не на неподвижные декартовы оси, а на ребра главного триәдра (подвижного) траектории; как было указано в рубр. 66 гл. I, эти три ребра определяются версорами $\boldsymbol{b}, \boldsymbol{n}, \boldsymbol{b}$ (касательная, главная нормаль, бинормаль). Принимая во внимание известные выражения для компонент касательного и центростремительного ускорений (II, рубр. 27), получим, таким образом, так называемые внутренние уравнения движения:
\[
\ddot{s}=F_{t}, \quad m \frac{t^{2}}{r}=F_{n}, \quad 0=F_{b} ;
\]

здесь, как обычно, $s$ есть дуга траектории, $r$ – радиус кривизны, $v$ – напряженность скорости, а $F_{t}, F_{n}, F_{b}$ обозначают компоненты силы по ориентированным направлениям соответственно $\boldsymbol{t}, \boldsymbol{n}, \boldsymbol{b}$.