2. Работа постоннник сил. В повседневной речи мы обыкновенно говорим, что человек работает, когда он совершает мускульное усилие, чтобы пропзвести то или пюе перемещение материальных предметов; таким образом, даже в разговорной речи мы свявываем понятпе о работе с силой и перемещением. Имея в виду дать этому понятию точное механическое определение, мы начнем с того случая, когда материальная точка находится под действием постоянной силы. Если точка приложе ния постоянной силы $\boldsymbol{F}$ получает перемещение $\overline{P_{1} P_{2}}$, то раоотой силии $\boldsymbol{F}$ на этол смещении называют скалярное произведение двух векторов – силы и смещения.
Таким образом, если обозначим работу через $L$, то
\[
L=\overline{F P_{1} P_{2}}
\]

вследствие пзвестного свойства скалярного произведения (I, руб́р. 20) можно сказать, что работа выражается произведением из величинь силь на помпоненту смещения по жаправлению силь, или, наоборот, произвдением из величины сяещения на конпоненту силь по направлению смещения.

Работа силы $L$ называется моторной или работой двигателя, если она имеет положительное значение, и работой сопротивления, если она имеет отрицательное значение; первый случай имеет место, когда сила образует со смещением острый угол, второй, – когда этот угол тупой.

Далее, если смещение перпендикулярно к силе, то работа равна нулю; п обратно, если сила отлична от нуля, а работа ее при данном смещении (тоже от.ичном оп нуля) равна жуль, то смещение перпендикулярно к дейстопющей силе.

Если $X, Y, Z$ суть компоненты силы $F$ по осям координатного триәдра, а $\Delta x, \Delta y, \Delta y$ суть компоненты смещения, то работа выражается формулой:
\[
L=X \Delta x-Y \Delta y+Z \Delta z ;
\]

в частности, для бесконечно малого смещения $d P$ получаем $\hat{\text { ес- }}$ конечно малую работу или э.лемент работы:
\[
d L=F d P=X d x+Y d y+Z d z .
\]

Прп постоянной силе, вследствие основных свойств скалярного пропзведения, всегда имеют место тождества:
\[
\begin{aligned}
(-\boldsymbol{F}) \overline{P_{1} P_{2}} & =-\left(\boldsymbol{F} \overline{P_{1} P_{2}}\right), \\
\boldsymbol{F} \overline{P_{2} P_{1}} & =-\left(\boldsymbol{F} \overline{P_{1} P_{2}}\right), \\
\left(\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}\right) \overline{P_{1} P_{2}} & =\boldsymbol{F}_{1} \overline{P_{1} P_{2}}+\boldsymbol{F}_{2} \overline{P_{1} P_{2}}, \\
\overline{P_{1} P_{2}}+\boldsymbol{F} \overline{P_{2} P_{3}}+\cdots+\boldsymbol{F} \bar{P}_{n-1} P_{n} & =\boldsymbol{F} \overline{P_{1} P_{n}} ;
\end{aligned}
\]

они выражают следующее:
a) Если сила или сйщение меняет свой знак (т. е. меняет сторону обращения на противоположную), то работа также меняет зжак (сохраняя без изменения абсолютное значение).
b) Раӧта равнодействңющей нескольких сил, приложенных * одной и той же точке на даннои смещении последней, равна сумме (алгеораической) работ отдельных сил на тон же смещении.
c) Сулиа (алгеораическая) раӧот силы, соответствующих несколькия последовательньм перемешениям, равна работе, хоторая была бы произведена на результирующен амеиении (т. е. представляющем собой векторную сумму данных смещений).
3. Работа переменной силы. Пусть теперь $F$ будет сила, произвольным образом меняющаяся о течением времени. Чтобы рассмотреть нанболее общий случай, предположнм, что сила $F$ зависит от времени, от положения точки ее приложения $P$ и от скорости последней $\dot{P}$. Положим также, что для этой точки $P$ установлено некоторое движение
\[
P=P(t), \text { пли } x=x(t), y=y(t), z=z(t) ;
\]

мы будем здесь даже предполагать, что это движение совершенно не зависит от того, которое произвела бы сила $F$, если бы точка $P$ была свободна и двигалась бы только под действием этой силы. Это значит, что движение, выражаемое уравненнями (2), может быть произведено совокупностью сил, в состав которой входит и сила $F$; определяется, однако, только работа, произведенная именно силой $\boldsymbol{F}$. В этих условиях сила $\boldsymbol{F}$ при заданных уравнөнилх (2) может быть определена в функции одного только времени; поэтому в теченне элехента времени $d t$, содержащегося между двумя проиввольными мсментами $t$ и $t+d t$, силу $F$ можно рассматривать (до бесконечно-малых порядка $d t$ ) как постоянную, равную одному из значений, которое она имеет в этом әлементарном интервале от $t$ до $t-d t$. Поэтому за элелент работи переменной силы $F$, соответствующей бесконечно малому смещению от $P(t)$ до $P(t+d t)$, принимается бесконечно малое скалярное произведение
\[
d L=F d P .
\]

Если через $v$ обозначим скорость движения (2) и примем во внимание выражение элементарного смещения $d P=v d t$, то определенному таким образом элементу работы можно придать вид:
\[
d J=F v d t=(X x+Y \dot{y}+Z \dot{z}) d t ;
\]

при этом предполагается, что $X, Y, Z$ выражены на основе уравненин (2) и их производных в функции одной только переменной $t$-времени.

В соответствии с этим под работой сили $\boldsymbol{F}$ при движении (2) точки ее приложения в промежутке между произвольными моментамн $t_{1}$ и $t_{2}$ или между положениями точки $P\left(t_{1}\right)$ и $P\left(t_{2}\right)$ равумеют сумму всех әлементарных работ (3) на пути последовательных перемещений точки $P$ при переходе из первого положения во второе; это значит, полагаем:
\[
L=\int_{i_{1}}^{t_{2}} F v d t=\int_{i_{1}}^{t_{1}}(X \dot{x}+Y \dot{y}+Z \dot{z}) d t,
\]

где в правой части мы имеем дело с обыкновенным определенным пнтегралом.

Основываясь на элементарном свойств определенного интеграла, мы непосредственно приходим к обобщению на случай переменной силы теоремы с), установленной в рубр. 2 для работы постоянных сил, именно: работа силы, произведенжая на дөух последовательных путях точки ее приложения, равна сумме работ, произведенньх на каждом из этих путей.
4. Предыдущее определение работы, как интеграла әлементарных работ, приобретает более конкретный смысл, если, восходя к возникновению понятия об интеграле, мы представим себе $L$ как предел надлежащим образом составленной суммы.

Обозначим через с дугу траектории, описанную точкон приложения $P$ силы $F$ от момента $t_{1}$ до момента $t_{2}$, и представим себе вписанной в нее произвольную ломаную линию; каждон стороне этой ломаной $\Delta P$ отнесем одно из тех значений силы $F$, которые она имеет на соответствующей дуге (например, значение в начальной точке отрезка при движении точки $P$ в момент, когда она через это положение проходит); рассмотрим сумму
\[
\sum F d P
\]

работ этих сил, предполагая таковне постоянными на протяжении каждого смещения $d P$. Если через $v$ обозначим скорость точки $P$ в начальной точке отрезка $\Delta P$, то
\[
\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta P}{\Delta t}=\boldsymbol{v}
\]

поэтому
\[
\frac{\Delta P}{\Delta t}=v+\bar{s},
\]
T. e.
\[
\Delta P=v d t+\bar{\varepsilon} d t,
\]

где $\bar{\varepsilon}$ есть бесконечно малая одновременно с $d t$. Таким образом сумму (5) можно представить в виде:
\[
\sum F v d t+\sum F_{\varepsilon}^{-} d t .
\]

Если все стороны нашей ломаной стремятся к нулю, то второе слагаемое предыдущей суммы стремится к нулю, как это шзвестно из анализа; первое же стремится к интегралу
\[
\int_{t_{i}}^{t_{t}} F v d t,
\]
т. е. к работе $L$; мы отсюда заключаем, что
\[
L=\lim \sum \boldsymbol{F} d P .
\]

Таким образом теоретически оправдано определение работы, вцражаемое равецством:
\[
L=\int_{c} F d P=\int_{c} X d x+Y d y+Z d z ;
\]

формально әто равенство может быть выведено из равенства (4), если в нем заменить $v d t$ через $d P$, т. е. подставить $d x, d y, d z$ вместо $\dot{x} d t, \dot{y} d t, \dot{z} d t$.
б. Работа позиционных сил. В этом случае для вычисления работы нет необходимости ьнать, как мы это предполагали выше в общем случае, уравнения движения точки приложения $l^{\prime}$; достаточно знать только траекторию. В самом деле, пусть
\[
P=P(s), \text { или } x=x(s), y=y(s), z=z(s)
\]

будут параметрические уравнения этой траектории, в которых мы под $s$ разумеем длину дуги, отсчитываемую от произвольно выбранного начала. Когда материальная точка $P$ описывает эту кривую под действием данной позиционной силы $\boldsymbol{F}(P)$, то последняя определяется в функции от одной только перемениой $s$. С другой стороны, әлементарное смепение
\[
d P=\frac{d P}{d s} d s
\]

есть не что иное, как произведение из $d s$ на версор $\frac{a P}{d s}=\boldsymbol{t}$, касательный п траектории; этот версор также представляет собой фупкцию одной только переменной $s$. Элемент работы в этом случае можно выразить в виде:
\[
d L=\boldsymbol{F} \boldsymbol{t} d s=\left(\mathrm{X} \frac{d z}{d_{s}}+Y \frac{d y}{d s}+Z \frac{d z}{d s}\right) d s ;
\]

ссли через $F_{t}$ обозначим компоненту силы по касательной к траектории в сторону возрастающкх $s$, то
\[
d L=F_{i} d s
\]

а так как $F_{t}$ вависит исключительно от $s$, то работа, выполненная силой $\boldsymbol{F}$ при движении точки по кривон между точками $P_{1}(i)$ п $P_{2}(t)$, выражается обыкновенным определенным интегралом:
\[
L=\int_{s_{1}}^{s_{2}} F_{t} d s=\int_{s_{1}}^{s_{2}}\left(X \frac{d x}{d s}+Y \frac{d y}{d s}+Z \frac{d z}{d s}\right) d s,
\]

совершенно независимо от того, по какому закону происходит движение за этот промежуток времени.

Отсюда следует (рубр. 2,a), что раӧома позиционной силь мсняет знак, коль скоро меняется сторона обращения пути точки ее приложенил; иначе говорл, работа позиционноні силы, выполиенная па некотором пути, отличается только знаком от работы, веполняемой силой в том же поле при обратном движенип по тому же пути.

Это существенно отличает рассматриваемий случай от того, что имеет место, когда сила зависит непосредственно от времени или от схорости; в этом последнем случае, помимо пути, существенную роль играст также гакон, по которому точка совершает свое движение с течением времени; и даже если этот вакон нам дан для прямого двпжения (т. е. от $P_{1}$ до $P_{2}$ ), то все же остаєтся неопределенным закон обратного движения.
6. Работа консервативных спл. Для этого частного типа позиццонных сил имеет место чрезвычайно замечательное обстоятельство, именно: для вычисления работы в өтом случае не только нет надобности знать закон движения, но нет даже нужды знать его траекторию; достаточно указать только крайние точки пути $P_{1}$ л $P_{2}$. В самом деле, в силу характеристического тождества, ко. торнм определяются консервативные силы
\[
\boldsymbol{F} d P=d U .
\]

где $U(x, y, z)$ представляет собой потенциал; әлемент работы выражается в этом случае через
\[
d L=d U \text {. }
\]

Интегрируя это выражение, мы поэтому получаем для работы $L_{P_{1} P_{2}}$, произведенной силой на каком угодно пути точки ее приложения между $P_{1}$ и $P_{2}$, значение
\[
L_{P_{1} P_{2}}=U\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)-U\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),
\]

где $x_{1}, y_{1}, z_{1}$ п $x_{2}, y_{2}, z_{2}$ ознатают координаты точек $P_{1}$ п $P_{2}$. Мы приходим, таким образом, к следующему выводу: каков бы ни был путь, описанный точкой приложения консервапивной силь в поле ее действия, въполненная ею раӧота равна разности потенциалов в конечной и исходной точках этого пути.

Пользуясь аддитивной произвольной постоянной, входящей в состав силовой функции, мы можем всегда достигнуть того, чтобы в определенной точке поля $P_{0}$ потенциал обращался в нуль; если теперь обозначим через $P(x, y, z)$ произвольную точку поля, то соотношение (7) дает:
\[
L_{P_{0} P}=U(x, y, z) .
\]

Таким образом потенциал в точке $P$ можно опретелить как работу, выполненную силой поля, когда ее точка приложения перемещается из постоянного начального положения $P_{0}$ в положение $P$, по какому бы пути это перемещение ни происходило. Благодаря этому становится физически ясным, что потенциал не зависит от системы отсчета, хотя формальное его определение и было поставлено в связь с компонентами силы по осям координат; мы это уже указывали при определении консервативных сил (VII, рубр. 26).
7. Свойство, установленное в предыдущей рубрике, характерно для консервативных сил в том смнсле, что им консервативные силы определяются; это значит, если сила $F$ обладает тем своиством, тто работа, совершенная при продвнжении точки ее приложения между двумя положениями $P_{1}$ и $P_{2}$ в некоторой части пространства $C$, зависит только от этих конечных точек $P_{1}$ и $P_{2}$, а не от траектории, то $\boldsymbol{F}$ есть консервативная сила. В самом деле, если мы выберем произвольно постоянную точгу $P_{0}$, то работа силы $F$ при перемещении от $P_{0}$ к любой другой точке $P(x, y, z)$ области $C$, в силу сделанного предположения, представляет собою однозначную функцию от $x, y, z$ :
\[
L_{P_{0} P}=U(x, y, z)
\]

и легко доказать, что сила $\boldsymbol{F}$ образуется наличием потенциала $U$. С этой целью заметим, что при любом элементарном смещении $d P$, приводящем материальную точку из $P$ в $P_{1}=P+d P$, соответствующий әлемент работы
\[
L_{P P_{1}}=F d P
\]

можно вычислить, в силу предположенной независимости работы от пути, используя это свойство силы. В самом деле, представим себе, что точка приложения проходит сначала от $P$ к $P_{0}$, а потом от $P_{0}$ к $P_{1}$. Мы будем, таким образом, иметь:

пли также
\[
\begin{array}{l}
F d P=L_{P_{0}}+L_{P_{0} P_{1}}, \\
F d P=L_{P_{0} P_{1}}-L_{P_{0} P},
\end{array}
\]
т. е. в силу соотношения (8):
\[
\boldsymbol{F} d P=U(x+d x, y+d y, z+d z)-U(x, y, z) ;
\]

отсюда следует, что по крайней мере до бесконечно малых высших порядков
\[
\boldsymbol{F} d P=d U ;
\]

мы отсюда, таким образом, заключаем, что $\boldsymbol{F}$ действительно есть консервативная сила, допускающая шотенциал ${ }^{1}$ ).
8. Отметим, наконец, что из соотношения (7) рубр. 6, в частности, вытекает, что работа, произведенная консервативной силой, равна нулю, если точка ее прпложения воввращается в исходное положение, совершив замкнутый путь. В этом находит себе оправдание присвоенное сплам, допускающим потенциал, наименование консервативных сил. В соответьтвующих силовых полях работа не приобретается и не теряется, когда точка приложения силы проходит замквутый контур. Если будем рассматривать работу силы, как вид физической энергии, выделяемой или приобретаемой точкой єриложения силы, то мы констатируем, что энергия әта равна нулю при обходе произвольного замкнутого контура; в этом смысле имеет место сохранение энергии.