20. Скалярное произведение. Если даны два вектора $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$, отличные от нуля, то под скалярным произведением их разуна косинус образуемого ими угла. Так как это произведение стремится к нулю, когда один из двух векторов или оба вместе стремятся к нулю (в каковом случае угол между векторами становится неопределенным), целесообразно приписать скалярному проивведению значение нуль в том случае, когда, по крайней мере, один из этих векторов равен нуляо.

В том и другом случае скалярное произведение вектора $\boldsymbol{\eta}_{1}$ на вектор $\boldsymbol{v}_{2}$ обозначается через $\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}$ (читается: $\boldsymbol{v}_{1}$ скалярно на $\boldsymbol{v}_{2}$ ).

Если через $X_{1}, Y_{1}, Z_{1}$ и $X_{2}, Y_{2}, Z_{2}$ обозначим компоненты векторов $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$, то из соотношения (7) непосредственно вытекает следуютее формальное выражение скалярного произведения:
\[
\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}=v_{1} v_{2} \cos \left(\widehat{\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}}\right)=X_{1} X_{2}+Y_{1} Y_{2}+Z_{1} Z_{2} ;
\]

следует также отметить, что әта формула остается в силе и тогда, когда один из двух векторов или даже оба обращаются в нуль: в этом случае как правая, так и левая части равенства (15) обращаются в нуль.

Из предыдущих определений следует, что скалярное произведение $\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}$ обращается в нуль в том, и только в том, случае, если заданные векторы взаимно перпендикулярны или же, по крайней мере, один из них равен нулю. Иными словами, если векторы $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ отличны от нуля, то исчезновение их скалярного произведения $v_{1} v_{2}$ есть необходимое и достаточное условие их перпендикулярности. Вследствие этого, если оказывается, что скалярное произведение вектора $v_{1}$ на люоой другой вектор $v_{2}$ равно нулю, то отсюда можно заключить, что $\boldsymbol{v}_{1}=0$; в самом деле, в противном случае достаточно было бы взять за $\boldsymbol{v}_{2}$ вектор, отличный от нуля и не перпендикулярный к $\boldsymbol{v}_{1}$, чтобы произведение $\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}$ оказалось отличным от нуля.

Если векторы $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ отличны от нуля, то произведение $\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}$ имеет положительное или отрицательное значение в зависимости от того, образуют ли эти векторы острый или тупой угол.

Iроизведение vv вектора на самого себя, которое обыкновенно обозначают короче через $v^{2}$, совпадает с квадратом длины вектора $v^{2}$ (так как $\widehat{\boldsymbol{v}}=0$ ); поэтому условие $\boldsymbol{v}^{2}=1$ характеризует единичный вектор.

В частности, основные версоры ортогонального координатного трнәдра характеризуются шестью соотношениями:
\[
\boldsymbol{i}^{2}=\boldsymbol{j}^{2}=k^{2}=1, \quad \boldsymbol{i k}=k \boldsymbol{i}=\boldsymbol{k} \boldsymbol{j}=\mathbf{0} .
\]

Выражение $v_{1} v_{2} \cos \widehat{v_{1} v_{2}}$ для скалярного произведения $v_{1} \boldsymbol{v}_{2}$ обнаруживает, что его можно рассматривать как произведение (алгебраическое) длины одного вектора на компоненту другого вектора по направлению первого.

Сделаем еще одно важное замечание. Если мы возьмем за ось проекций направление вектора $v_{1}$, но обращенное в противоположную сторону, то компоненты векторов на это направление будут:
\[
-v_{1} \text { и }-v_{2} \cos \widehat{v}_{1} \widehat{v}_{2}
\]

Вследствие әтого тождество
\[
\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}=\left(-v_{1}\right)\left(-v_{2} \cos \widehat{\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{\gamma}_{2}}\right)
\]

обнаруживает, что скалярное произведение двух векторов равно произведению (алгеорраческому) их компонент по линии действия

(рубр. 1) одного из них, в какую бы сторону оно ни было ориентировано (но, конечно, одинаково при проектировании обоих векторов).

Наконед, небесполезно будет четко отметить, что скалярное произведение и $\boldsymbol{v}$ какого угодно вектора $\boldsymbol{v}$ на единичный вектор $\boldsymbol{u}$ тированному направлению $u$; это непосредственно вытекает из сопоставления формул (15) и (1).
21. Как из определения скалярного пропзведения, так и из выражения его в компонентах (15) непосредственно вытекает, что для скалярного произведения имеет место свойство коммутативности:
\[
v_{1} v_{2}=v_{2} v_{1}
\]

между тем свойство ассоциативности в этом случае отпадает. В самом деле, так как $\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}$ есть скаляр, то о скалярном произведении вектора $\boldsymbol{v}_{3}$ на $\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}$ не может быть речи.

Но зато остается в силе свойство дистрибутивности по отношению к сумме векторов:
\[
v\left(v_{1}+v_{2}\right)=v v_{1}+v v_{2} .
\]

Чтобы это обнаружить, покажем прежде всего, что имеет место тождество:
\[
\left.\operatorname{vers} \boldsymbol{v}\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\right)=\operatorname{vers} \boldsymbol{v} \boldsymbol{v}_{1}+\operatorname{vers} \boldsymbol{v} \boldsymbol{v}_{2}{ }^{1}\right) .
\]

В самом деле, так как vers $\boldsymbol{v}$ есть единичныи вектор, то өто равенство выражает только, что компонента суммы $\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}$ на ориентированное направление вектора $v$ равна сумме компонент слагающих векторов $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ на то же направление. Теперь достаточно помножить обе части последнего равенства на $v$, чтобы получить соотношение ( $16 \mathrm{~b}$ ).

В результате әтого для скалярного произведения остаются в силе правила обыкновенного алгебраического умножения, основанные на свойствах коммутативности и дистрибутивности. В частности, перемножение многочленов, представляющих алгебрапческие суммы векторов, совершается по правилу перемножения алгебраическнх полиномов.

На этом основании можно втовь получить выражение (15) и $X_{2}, Y_{2}, Z_{2}$ векторов $v_{1}$ и $v_{2}$ по ориентированным направлениям осей координат. Для этого достаточно вычислить произведение:
\[
\left(X_{1} i+Y_{1} j+Z_{1} k\right)\left(X_{2} i+Y_{2} j+Z_{2} k\right),
\]

принимая во внимание соотношения (16).
1) Иначе говоря, рассматривается сначала случай, когда первый множнтель есть единичный вектор. (Pед.)

Полезно еще отметить, что основные версоры $\boldsymbol{t}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ триәдра Охуz, будучи отнесены к другому триәдру $Q \xi \eta \zeta$, имеют коміонентами направляющие косинусы $\alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}(i=1,2,3)$ (рубр. 8); вследствие әтого соотношения (16) непосредственно приводят к равенствах (7).
22. Векторное прогзведенке. Пусть будут ваданы два вектс ра $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$, отличные от нуля, неколлинеарные между собой, и притом в определенном порядке (т.-е. первнй и второй, согласно обовначению). В любой плоскости, параллельной обоим векторам (двумерное направление которой 1 ), таким обравом, определяется заданными двумя векторами), установим по ним определенную сторону вращения. Для әтого центрируем векторы $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ в точке $O$ этой плоскости и представим себе, что вектор $v_{1}$ поворотом вокруг $O$ на угол, меньший $\pi$, приводится в совмещение с вектором $\boldsymbol{v}_{2}$ по направлению и по стороне обращения (фиг. 11); ту сторону, в которую совершается этот поворот, мы и будем считать установленной в этой плоскости стороно вращения. Вместе с тем векторы $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ дают возможность отличать одну от другой две стороны любой прямой, \”не параллельной нашей плоскости (можно сказать, не принадлежащей двумерному направлению, которое определяется векторами $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ ); одеой из этих сторон прямой является та, по отношению к которой установленное вращение является правосторонним (т. е. сторона $u$, образующая с векторами $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ правосторонний триәдр $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{a}$ ), а другой – противоположная сторона. На основе этих соображений устанавливается еще другое умножение векторов, при котором произведением служит не число, а вектор; это произведение называют поэтому векториальныл или векторным.

Векторным произведением двух векторов $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$, в этон пөрядке взятых, называют вектор $\boldsymbol{u}$, длина которого внражается числом $v_{1} v_{2} \sin \widehat{v_{1} v_{2}}$, направление которого перпендикулярно к плоскости $\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}$, а сторона обращения выбрана так, что по отношению к ней вращение от $\boldsymbol{v}_{1} \mathbf{k} \boldsymbol{v}_{2}$ представляется правосторонним (фиг. 11). Иными словами, длина векторного проивведөния вектора $\boldsymbol{v}_{1}$ на вектор $\boldsymbol{v}_{2}$ численно равна площади параллелограма, определяемого этими вөкторами (на нашем чертеже параллелограма $O P_{1} R P_{2}$ ); направление его перпендикулярно к двумерному направлению, определяемому векторами $v_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ (на нашем чертеже перпендикулярно к плоскости $P_{1} O P_{2}$ ); сторона обращения вектора $\boldsymbol{u}$ такова, что $\boldsymbol{v}_{1} v_{2} \boldsymbol{u}$ есть правосторонний триәдр. Векторное произведение векторов $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ обозначается символом [v, $\left.\boldsymbol{v}_{2}\right]$; читается: ${ }_{n} \boldsymbol{v}_{1}$ векторно на $\boldsymbol{v}_{2}{ }^{4}$. Так как вектор $\left[\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}\right]$
1) См. примечание на стр. 25, (Ред.)

лежит вне плоскости $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}$, то векторное произведение часто называют, следуя Грасману ${ }^{1}$ ), внешния произведением ${ }^{2}$ ).
23. Если один из двух векторов обращается в нуль или если деление все же остается в силе: направление и сторона обращения вектора $\left[\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}\right.$ ] остаются в этом случае неогределенными, но длина его равна нулю; иначе говоря, в этом случае $\left[\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}\right]$ есть нулевой вектор. Если же оба вектора $\boldsymbol{v}_{1}$ п $\boldsymbol{v}_{2}$ отличны от нуля, то их векторное произведение может обратиться в нуль только тогда, когда $\sin \widehat{\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}}=0$, т. е. когда векторы коллинеарны. Таким образом для двух векторов, отличных от нуля, обращение в нуль их векторного произведения представляет собою кеобходиное и достаточное условие их коллинеарности. Как п в случае скалярного произведения, если известно, что векторное произведение $\left[\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}\right.$ ] вектора $\boldsymbol{v}_{1}$ на любой вектор $\boldsymbol{v}_{2}$ равно нулю, то отсюда можно заключить, что. $\boldsymbol{v}_{1}=0$; в противном случає достаточно было бы взять вектор $\boldsymbol{v}_{2}$, отличный от нуля и не коллинеарный с $\boldsymbol{v}_{1}$, и произведение $\left[\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}\right]$ было бы отлично от нуля.
24. Следует твердо помнить, что вектор $\left[\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}\right]$, если он не обрашается в нуль, всегда перпендикулярен к каждому пз векторов $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$. В частности, если $\boldsymbol{u}$ есть единичний вектор, перпендикулярный к данному вектору $\boldsymbol{v}$, то вектор $[\boldsymbol{u v ]}$ имеет ту же длину, что
Фиг. 12.

и $\boldsymbol{v}($ пбо $\boldsymbol{u}=1, \sin \widehat{\boldsymbol{u v}}=1$ ), перпендикулярен к векторам $\boldsymbol{u}$ и $\boldsymbol{v}$ и обращен таким обравм, что векторы $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}$ и [uv] обравугі правосторонний ортогональный триәдр. Но в таком случае и Бекторы $\boldsymbol{v},[\boldsymbol{u} \boldsymbol{v}]$ и $\boldsymbol{u}$ образуют тривдр правого вращения. Это можно интерпретировать следукщим образом: вектор [uv] пред ставляет собою результат поворота вектора $\boldsymbol{v}$ вокруг оси $\boldsymbol{u}$ на прямой угол справа налево. Инєче говоря, унножить произвол . $_{b}$. ный вектор $\boldsymbol{v}$ на перпендикуларный $\boldsymbol{\kappa}$ нему единичный вектор $\boldsymbol{u}$
1) Герман Грасман (Hermann Grassmann) родился в Штеттине в 1809 г. и жил в этом городе почти постоянно до своей смерти (1877). Мы обязаны ем у оригинальным геометрическим исчислением, которое объемлет векторное исчисление, как частный случай. Оно было опубликовано Грасіланом в 1844 г. и в глубоко переработанном виде – в 1862 г. под названием , Ausdehnungslehre\”. Оно находит себе применение во многих вопросах не только геометрин, но также механики и математичеекой физнки.
2) Авторы употребляют для скалярного произведения знак $\times\left(\boldsymbol{v}_{1} \times \boldsymbol{v}_{2}\right)$, а для векторного произведения знак $\wedge\left(\boldsymbol{v}_{1} \wedge \boldsymbol{v}_{2}\right)$; но эти обозначения, как указано в предисловии, противоречат нашему стандарту. Принятое последним обозначение $\left[\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}\right]$ ведет свое начало еще от Грасмана и сохраняет в мировой литературе еще наибольшее распространение. (Pед.)
3. Зак. 554, Леви Чивита и Амальди, т. I, ч. 1.

налево на прямой угол. Отсюда и название единичного вектора версор (вращающий вектор, см. рубр. 3).
25. По определению, векторное произведение $\left[\boldsymbol{v}_{2} \boldsymbol{v}_{1}\right]$ имеет то же численное значение (ту же длину), что и $\left[\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}\right]$; если оно отлично от нуля, то оно имеет и то же направление; но вектор [ $\left.\boldsymbol{v}_{2} \boldsymbol{v}_{1}\right]$ обращен не в ту сторону, что $\left[\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}\right]$, а в противоположную; в самом деле, на прямой, перпендикулярнои к плоскости векторов $\boldsymbol{v}_{1} \cdot$ и $\boldsymbol{v}_{2}$, сторона, относительно которой ориентированный угол $\widehat{\boldsymbol{v}_{2} v_{1}}$ (т. е. угол между двумя ориентированными прямыми; см. примечание на стр. 17) представляется правосторонним, противоположна той стороне, относительно которой правосторонним представляется ориентированный угол $\boldsymbol{v}_{1} \widehat{v}_{2}$. Поэтому
\[
\left[v_{2} v_{1}\right]=-\left[v_{1} v_{2}\right] .
\]

Это соотношение остается в силе и тогда, когда одно из произведений (а с ним неизбежно и второе) обращается в нуль.

В соответствии с этим принято говорить, что векторное пропзведение являетея знакопеременяым (в противоположность коммутативности, которой обладает произведение двух чисел, произведение векторі на число и скалярное пропзведение двух векторов).
26. Применяя соображения, изложенные в рубр. 23 и 24, к основным версорам $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$, мы приходим к следующим основным формулам, которые необходимо хорошо усвоить:
\[
\left.\begin{array}{r}
{[i i]=[j j]=[k k]=0} \\
{[j k]=i, \quad[k i]=j, \quad[i j]=k .}
\end{array}\right\}
\]

Наконец, для четкости повторим правило построения векторного произведения. Чтобы получить вектор, приложенный в точке $O$ и представляющий собой произведение [ $\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}$ ] двух векторов $v_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$, отличных от нуля и пе параллельных между собою, достаточно центрировать их в точке $O$; если $\overline{O P}_{1}$ и $\overline{O P}_{2}$ суть эти приложенные векторы (см. фиг. 10), то вектор $\left[\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}\right]$ направлев по прямой $O Q$, перпендикулярной к плоскости $O P_{1} P_{2}$ в точке $O$, и обращен в сторону, относительно которой ориен’трованный угол $P_{1} \widehat{O} P_{2}$ является правосторонним; длина этого вектора $O Q$ выражается тем же числом, что и площадь параллелограма $O P_{1} R P_{2}$.
27. Выражение векторного произведения в компонентах перемножаемых векторов. Мы намерены здесь найти выражения компонент $w_{x}, w_{y}, w_{z}$ векторного произведения $w=\left[\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}\right]$ при помощи компонент $X_{1}, Y_{1}, Z_{1}$ и $X_{2}, Y_{2}, Z_{2}$ векторов $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$. При этом мы начинаем с того случая, когда оба вектора $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ отличны от нуля и не коллинеарны; если поәтому мы центрируем эти векторы, то на них можно будет построить действительный параллелограм.

При әтих предположениях вектор ш должен быть, по определению, перпендикулярен к каждому из векторов $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$; поэтому комдоненты $w_{x}, w_{y}, w_{\varepsilon}$ должны удовлетворять двум условиям:
\[
\left.\begin{array}{l}
\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{w}=X_{1} w_{x}+Y_{1} w_{y}+Z_{1} w_{z}=0, \\
\boldsymbol{v}_{2} \boldsymbol{w}=X_{2} w_{x}+Y_{2} w_{y}+Z_{2} w_{z}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Легко убедитьея, что в рассматриваемом случае миноры
\[
Y_{1} Z_{2}-Z_{1} Y_{2}, \quad Z_{1} X_{2}-X_{1} Z_{2}, \quad X_{1} Y_{2}-Y_{1} X_{2}
\]

матрицы
\[
\left\|\begin{array}{lll}
X_{1} & Y_{1} & Z_{1} \\
X_{2} & Y_{2} & Z_{2}
\end{array}\right\|
\]

не могут совместно обратиться в нуль. В самом деле, имея в виду определение скалярного произведения векторов, можно написать сумм их квадратов ${ }^{1}$ ) в виде:
\[
\left|\begin{array}{lr}
v_{1}^{2} & v_{1} v_{2} \cos \widehat{\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}} \\
v_{1} v_{2} \cos \widehat{\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}} & v_{2}^{2}
\end{array}\right|=v_{1}^{2} v_{2}^{2}\left(1-\cos ^{2} \widehat{\boldsymbol{v}_{1}} \boldsymbol{v}_{2}\right)=v_{1}^{2} v_{2}^{2} \sin ^{2} \widehat{\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}} ;
\]

при сделанных предположениях произведение $v_{1} v_{2}$ sin $\widehat{v_{1} \boldsymbol{v}_{2}}$ (площадь параллелограма, построенного на векторах $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ ), наверное, имеет положительное значение.

Таким образом в силу уравдений (18) компоненты $w_{x}, w_{y}$, $w_{z}$ пропорциональны минорам (19) матрицы (19a); если поатому обозначим через $\rho$ коәфициент пропорциональности, то
\[
w_{x}=\rho\left(Y_{1} Z_{2}-Z_{1} Y_{2}\right), \quad w_{y}=\rho\left(Z_{1} X_{2}-X_{1} Z_{2}\right), \quad w_{\varepsilon}=\rho\left(X_{1} Y_{2}-X_{2} Y_{1}\right) .
\]

Отсюда следует, что квадрат длины вектора ш выражаетсл формулой:
\[
w^{2}=w_{x}^{2}+w_{y}^{2}+w_{z}^{2}=\rho^{2} v_{1}^{2} v_{2}^{2} \sin ^{2} \widehat{\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}} ;
\]

а так как это выражение должно быть тождественно с произведением $v_{1}^{2} v_{2}^{2} \sin \widehat{\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}}$, то отсюда заключаем, что $\rho^{2}=1$, т. е.
\[
\rho= \pm 1 \text {. }
\]

Чтобы установить, какой из двух знаков действительно имеет место, заметим следующее. Если мы будем непрерывно изменять векторы $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$, то вначение $\rho$ не может измениться, пока вектор не пройдет через нуль; другими словами, $\rho$ сохранит свое значение, как бы ни изменялись непрерывно векторы $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$, лишь бы они не становились параллельными и не обращались
1) Следует припомнить тождество, к воторому приходим, возведя матрицу (19a) в квадрат:
\[
\left|\begin{array}{c}
Y_{1} Z_{1} \\
Y_{2} Z_{2}
\end{array}\right|^{2}+\left|\begin{array}{c}
Z_{1} X_{1} \\
Z_{2} X_{2}
\end{array}\right|^{2}+\left|\begin{array}{c}
X_{1} Y_{1} \\
X_{2} Y_{2}
\end{array}\right|^{2}=\left|\begin{array}{cc}
X_{1}^{2}+Y_{1}^{2}+Z_{1}{ }^{2} & X_{2} X_{1}+Y_{2} Y_{1}+Z_{2} Z_{1} \\
X_{1} X_{2}+Y_{1} Y_{2}+Z_{1} Z_{2} & X_{2}^{2}+Y_{2}^{2}+Z_{2}^{2}
\end{array}\right| .
\]

В справедливости этого тождества можно, конечно, убедиться и непосредственно.

в нуль. Между тем, такой непрерывной деформацией в пространстве всегда можно превратить одну пару векторов, удо влетворяющую этим условиям, в любую другую ${ }^{1}$ ). Следовательно, р постоянно имеет один и тот же знак, и, чтобы его установить, достаточно рассмотреть один частный случай.
Если, пөложим, $\boldsymbol{v}_{1}=\boldsymbol{i}, \boldsymbol{v}_{2}=\boldsymbol{j}$, то матрица (19a) примет вид:
\[
\left\|\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right\|
\]

если теперь припомним, что $[\boldsymbol{i j}]=\boldsymbol{k}$ и что компоненты вектора $\boldsymbol{k}$ имеют значения $0,0,1$, то уоедимся, что $\rho$ равно 1 ; вместе с тем мы приходим к заключению, что компоненты векторного произведения $w$ всегда выражаются формулами:
\[
w_{x}=Y_{1} Z_{2}-Z_{1} Y_{2}, \quad w_{y}=Z_{1} X_{2}-X_{1} Z_{2}, \quad w_{z}=X_{1} Y_{2}-Y_{1} X_{2} .
\]

Вводя основные версоры, можно написать:
\[
\left[\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}\right]=\left(Y_{1} Z_{2}-Z_{1} Y_{2}\right) \boldsymbol{i}+\left(Z_{1} X_{2}-X_{1} Z_{2}\right) \boldsymbol{j}+\left(X_{1} Y_{2}-Y_{1} X_{2}\right) \boldsymbol{k}
\]

илі в форие определителя
\[
\left[\begin{array}{ll}
\boldsymbol{v}_{1} & \boldsymbol{v}_{2}
\end{array}\right]=\left|\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
X_{1} & Y_{1} & Z_{1} \\
X_{2} & Y_{2} & Z_{2}
\end{array}\right|
\]

Ћ этому заключению мы припли, вовсе исключив из рассмотрения два случая: когда каждый из векторов $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ обращается в нуль и когда они друг другу параллельны. Но соотнопения (20), а следовательно, и (21) останотея в силе также и для этих двух исключительных случаев, ибо как в одном, так и в другом из них обе части равенств (20) и (21) обрыщаются в нуль.
1) Так, чтобы привести к такому совмещению пары $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}$ к $\boldsymbol{v}_{1}{ }^{\prime}, \boldsymbol{v}_{2}{ }^{\prime}$, изобразенные на (фиг. 13а), перемещаем угол $P_{1} O P_{2}$ так, чтобы еторона $O P_{1}$ совпалас $O^{\prime} P_{1}^{\prime}$ (фиг.13b); вектор $\overline{O P_{2}}$ займет при этом некоторое положение $\overline{O^{\prime} P_{2}}$.
Фиг. 13.

Вращая угол $P_{2} O^{\prime} P_{1}$ в ту или в другую сторону вокруг $O^{\prime} P_{1}$, ппиведем вектор $O^{\prime} P_{2}$ в полуплоскость $P_{1}^{\prime} O^{\prime} P_{2}^{\prime}$ (фиг. 13с), затем, \”изменяя угол, приведөм вектор $O^{\prime} P_{2}$ к совмещению с прямой $O^{\prime} P_{2}^{\prime}$ (фиг. 13d). Наконеп, изменяя длины векторов и $O^{\prime} P_{1}$ и $O^{\prime} P_{2}$, достигнем полного совпадения. (Ред.)

28. Из выражений (20) и (21) векторного пропзведения в компонентах мы вновь убеждаемся в знакопеременном характере этого произведения (рубр. 25): так как определитель (21) изменит знак на обратный, если мы в нем переставим две последние горизонтали, то
\[
\left[\boldsymbol{v}_{2} \boldsymbol{v}_{1}\right]=-\left[\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}\right] .
\]

На основе формул (20) или (21) легко устанавливаются следующие два тождества, в первом из которых $a$ есть произвольное вещественное число:
\[
\begin{array}{l}
{\left[\boldsymbol{v}\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\right)\right]=[\boldsymbol{v} \boldsymbol{v}]_{1}+\left[\begin{array}{ll}
\boldsymbol{v} & \boldsymbol{v}_{2}
\end{array}\right] .} \\
\end{array}
\]

Первое из этих тождеств доказывается настолько просто, что на нем не стоит останавливаться. Для доказательства второго обозначим компоненты вектора $v$ через $X, Y, Z$; тогда по формуле (21):
\[
\begin{array}{l}
{\left[\boldsymbol{v} \boldsymbol{v}_{1}\right]=\left|\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
X & Y & Z \\
X_{1} & Y_{1} & Z_{1}
\end{array}\right| ;\left[\boldsymbol{v} \boldsymbol{v}_{2}\right]=\left|\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
X & Y & Z \\
X_{2} & Y_{2} & Z_{2}
\end{array}\right| ;} \\
\boldsymbol{v}\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\right)=\left|\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
X & Y & Z \\
X_{1}+X_{2} & Y_{1}+Y_{2} & Z_{1}+Z_{2}
\end{array}\right| .
\end{array}
\]

Ясно, что последний определитель равен сумме двух первых.
Последнее тождество выражает свойтво дистриоутивности или распределительности, векторного произведения; как и в алгебре, оно распространяется на случай, когда сумма векторов содержит не два, а какое угодно число слагаемых. Отсюда и из правила умножения вектора на число (рубр. 1б) вытекает, что произведение многочленов, составленных из векторных слагаемых, может быть развернуто, как проивведение алгебрағческих полиномов. Иначе говоря, пропзведенно
\[
\left[\sum_{i}^{n} a_{r} \boldsymbol{v}, \sum_{1}^{p} b_{s} w_{s}\right]
\]
(где $n$ и $p$ суть целые числа, $a_{r}$ и $b_{s}$-вещественны числа, $\boldsymbol{v}_{r}$ и $\boldsymbol{w}_{s}$-пронзвольные вектиры) ралвертывается, как обккновенно в алгебре, с тем только ограничением, что в общем члене разложения $\left[a_{r} \boldsymbol{v}_{r}, b_{s} w_{s}\right]$ нельзя переставлять векторных сомножителей; однако коэфициенты $a_{r}$ и $b_{s}$ можно переставлять как угодно, в частности, общему члену можно придать форму: $a_{\tau} b_{s}\left[\boldsymbol{v}_{r} \boldsymbol{w}_{s}\right]$.
29. Сменанные произведеика. Даны три вектора $v_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}$; составим векторные проязведеняя:
\[
\left[\boldsymbol{v}_{2} \boldsymbol{v}_{3}\right], \quad\left[\boldsymbol{v}_{3} \boldsymbol{v}_{1}\right], \quad\left[\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}\right]
\]

и затем каждое из них помножим скалярно на недостающий третий вектор.

Получающиеся, таким образои, смешанные произьедения равны между собой, т. е. имеют место тождества:
\[
\boldsymbol{v}_{1}\left[\boldsymbol{v}_{2} \boldsymbol{v}_{3}\right]=\boldsymbol{v}_{2}\left[\boldsymbol{v}_{3} \boldsymbol{v}_{1}\right]=\boldsymbol{v}_{3}\left[\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}\right]
\]

Чтобы это установить напболее простым способом, отнесем данные три вектора к ортогональному триәдру и обозначим через $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}(i=1,2,3)$ компоненты вектора $\boldsymbol{v}_{i}$ по осям триәдра. Легко усмотреть, что наши три смешаннье произведення в силу соотношений (20) и (15) выразятся определителями:
\[
\left|\begin{array}{lll}
X_{1} & Y_{1} & Z_{1} \\
X_{2} & Y_{2} & Z_{2} \\
X_{3} & Y_{3} & Z_{3}
\end{array}\right|,\left|\begin{array}{lll}
X_{3} & Y_{2} & Z_{2} \\
X_{3} & Y_{3} & Z_{3} \\
X_{1} & Y_{1} & Z_{1}
\end{array}\right|,\left|\begin{array}{lll}
X_{3} & Y_{3} & Z_{3} \\
X_{1} & Y_{1} & Z_{1} \\
X_{2} & Y_{2} & Z_{3}
\end{array}\right|
\]

Отметим, что абсолютное значение каждого из этих трех определителей выражает объем параллелепипеда, построенного на трех векторах $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}$ ( $O P_{2} P P_{3}, P_{1} P_{2}^{\prime} P^{\prime} P_{3}^{\prime}$ на фиг. 14). Чтобы это доказать, исключим, прежде всего, случай вырождения, когда на трех векторах нельзя построить действительного параллелепипеда, и обозначим через $\boldsymbol{v}$ произведение $\left[\boldsymbol{v}_{2} \boldsymbol{v}_{3}\right]$. Тогда длина вектора ә выравит площадь параллелограма векторов $\boldsymbol{v}_{2}$ и $\boldsymbol{v}_{3}$ (т. е. основания $D P_{2} P P_{3}$ нашего параллелепинеда); направление же его перпендикулярно к плоскости этого параллелограма. Скалярное произведение можно поэтому интерпретировать (рубр. 20), каг произведение из $\boldsymbol{v}$ на комноненту вектора $\boldsymbol{v}_{1}$ по направлению $\boldsymbol{v}$, надлежащим образом ориентированному; а так каг вектор $\boldsymbol{v}(\overline{O Q})$ перпендикулярев к плоскости $\boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}\left(\mathrm{OP}_{2} \mathrm{PP}_{3}\right)$, то длина этой компоненты (OR) есть пе что иное, как внсота $h$ параллелепипеда, соответствующая основанию, площадь которого выражается числом $v$. Таким образом абсолютное значение произведения $\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}$, т. е. смешанного произведения $\boldsymbol{v}_{1}\left[\boldsymbol{v}_{2} \boldsymbol{v}_{3}\right]$, равно vh (произведение из основания параллелепипеда на высоту) и выражает объем параллелепипеда векторов $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}$. Знак же произведения $v v_{1}$ есть + или -, смотря то тому, образует ли $\boldsymbol{v}_{1}$ острый или тупой угол с вектором $\boldsymbol{v}$, т. е. с перпевдикуляром к плоскости $v_{2}, v_{3}$, орнентированнкм таким образом, чтобы вращепие $\boldsymbol{v}_{2} \boldsymbol{v}_{3}$ было относительно него правосторонним; еще иначе, произведение $\boldsymbol{v}_{1}\left[\boldsymbol{v}_{2} \boldsymbol{v}_{3}\right]$ имеет положительное значение, когда векторы $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}$ образуют правосторонний триәдр, п’отрицательное в противоноложном случае.

Случаи вырождения, провизорно оставленные в стороне, получаются нз соображений непрерывности. өсли представнм себе, что три вектора стремятся стать параллельными однон и той же плоскости или что один из них стремится к нулю.

Объем соответствующего параллелепипеда всегда имеет пределом нуль, а потому в предельном случає
\[
\boldsymbol{v}_{1}\left[\boldsymbol{v}_{2} \boldsymbol{v}_{3}\right]=0 \text {. }
\]

Отсюда следует вывод: обращение в жуль смешанного произведения $\boldsymbol{v}_{1}\left[\boldsymbol{v}_{2} \boldsymbol{v}_{3}\right]$, составленного из трех не нулевых векторов, представляет собою условие, необходимое и достаточное для того, чтобы векторы были компланарны.
30. Условия коллинеарности двух векторов. Выражевия компонент векторного произведения и численного значения смепанного произведения дают возможность выразить в координатах условия коллинеарности и комгланарности векторов; этим условиям можно придать и векторную форму.

Как мы уже знаем (рубр. 22), условие коллинеарности двух векторов $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ сводится к току, что векторное их проивведение должно обращаться в нуль:
\[
\left[v_{1} v_{\mathrm{o}}\right]=0 .
\]

В координатах (при прежних их обозначениях) это условие внражается тремя равенствами:
\[
Y_{1} Z_{2}-Z_{1} Y_{2}=0, \quad Z_{1} X_{2}-X_{1} Z_{2}=0, \quad X_{1} Y_{2}-Y_{1} X_{2}=0 . \quad \text { (25a) }
\]

Одно из этих трех уравнений представляет собою следствие остальных. Если исключим совершенно тривиальный случай, когда оба вектора $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ равны нулю, т. е. будем считать один из них, скажем, $\boldsymbol{v}_{2}$, во всяком случае отличным от нуля, то, по крайней мере одна из координат $X_{2}, Y_{2}, Z_{2}$ отлична от нуля; пусть $Z_{2}
eq 0$. Если положим $\frac{Z_{1}}{Z_{2}}=a$, т. е. $Z_{1}=a Z_{2}$, то соотношения (25а) дадут: $X_{1}=a X_{2}, Y_{1}=a Y_{2}$. Условие коллинеарности векторов $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ может быть, таким образом, выражено равенствами:
\[
X_{1}=a X_{2}, \quad Y_{1}=a Y_{2}, \quad Z_{1}=a Z_{2},
\]

где $a$ есть вещественное число. Эти равенства, в свою очередь, влекут за собой соотношения (25а). При $a=0$ они охватывают и тот случай, когда $v_{1}$ есть нудевой вектор и может поэтому считаться коллинеарным с любым другим вектором.
Равенство (25b) можно объединить в векторное соотношение:
\[
\boldsymbol{v}_{1}=a \boldsymbol{v}_{2} \text {, }
\]

которое, как мы уже знаем (рубр. 17), имеет место в том и только в том случае, когда векторы $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ коллинеарны.

Итак, чтобы вежторы $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ были коллинеарны, необходима $u$ достатөчно, итобъ имело место соотношение (25с). Это векторное равенство может быть заменено тремя скалярными равенствами (25b). Из соотношений (25c) и (25b) можно исключить множнтель $a$, и тогда условия коллинеарности выразятся либо тремя скалярными равснствами (25а), либо одним векторным равенством (25).

31. Условиа гомпланарности трех векторов $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}$, как мы видели (рубр. 29), выраждется равенством (24):
\[
\boldsymbol{v}_{1}\left[\boldsymbol{v}_{2} \boldsymbol{v}_{3}\right]=0
\]

или в координатах
\[
\left|\begin{array}{lll}
X_{1} & Y_{1} & Z_{1} \\
X_{2} & Y_{2} & Z_{2} \\
X_{3} & Y_{3} & Z_{3}
\end{array}\right|=0 .
\]

Оставляя и вдесь в стороне совершенно тривиальньй олучай, когда все три вектора коллинеарны, будем считать, что векторы $v_{1}$ и $v_{2}$ не коллинеарны. Тогда равенства (25a) не могут быть совместно справедливы, т. е. из трех разносте
\[
Y_{1} Z_{2}-Y_{2} Z_{1}, \quad Z_{1} X_{2}-Z_{2} X_{1}, \quad X_{1} Y_{2}-X_{2} Y_{1},
\]

по крайней мере, одна отлична от нуля.
Положим, что отлична от нуля третья разность. Мы можем ее рассматривать как минор $e_{5}$ әлемента $Z_{3}$ в определителе (24a); если через $e_{1}$ и $e_{2}$ обозначим минорн элементов $Z_{1}, Z_{2}$ того же определителя и примем во внимание, что определитель этот равен нулю, то придем к трем равенствам:
\[
\begin{array}{l}
e_{1} X_{1}+e_{2} X_{2}+e_{3} X_{8}=0, \\
e_{1} Y_{1}+e_{2} Y_{2}+e_{3} Y_{3}=0, \\
e_{1} Z_{1}+e_{2} Z_{2}+e_{3} Z_{3}=0 .
\end{array}
\]

Они выражают, что векторы $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}$ свяваны линейным соотношением:
\[
e_{1} v_{1}+e_{2} v_{2}+e_{3} v_{3}=0,
\]

в котором, по крайней мере, один из коэфициентов $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ отличен от нуля. Обратно, если имеет место векторное рівенство (24c), то оно разрешается в три скалярные равенства (24b), исключая из которых коэфициенты $e_{1}, e_{2}, e_{3}$, получаем соотноцение (24а) или – в векторной форме – (24). Заметим, что соотношение (24c) можно представить также в виде:
\[
\boldsymbol{v}_{\mathbf{3}}=d_{1} \boldsymbol{v}_{1}+d_{2} \boldsymbol{v}_{2}, \text { где } d_{1}=-\frac{e_{1}}{e_{3}}, \quad d_{2}=-\frac{e_{2}}{e_{3}} .
\]

Итак, чтобы три вектора $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}$ были компланарны, неооходимо и достаточно, чтобъ один и них выражался линейно через оба других (24) или, в более симметричной форме, чтобъ они бъли связань линейной зависимостью (24с), в которой, по крайней мере, один из поэфициентов $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ отличен от нуля. В скалярной форме этя зависимость выражается тремя равенствами (24b), исключая пв которых коэфициенты $e_{1}, e_{2}, e_{3}$, мъ получим условие компланарности вектөров $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}$ в форме (24а) или (24).
32. Двойное векторное произведение. Если векторное произведение $\left[\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}\right.$ ] помножим векторно же на третий вектор $\boldsymbol{v}$, то получим так называемое двойное векторное произведение:
\[
\boldsymbol{u}=\left[\boldsymbol{v}\left[\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}\right]\right] .
\]

Если через $\boldsymbol{w}$ обозначим проиведение [ $\left.\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}\right]$, то вектор $\boldsymbol{w}$ перпендикулярен к плоскости $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}$. Вектор $\boldsymbol{u}=$ [च⿱] перпендикулярен к вектору ; поэтому он лежит в плоскости векторов $\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}$, вернее, компланарен с ними. Следовательно (рубр. 31):
\[
\boldsymbol{u}=d_{1} \boldsymbol{v}_{1}+d_{2} \boldsymbol{J}_{2} .
\]

Основываясь на формулах (20), можно вычислить коэфекциенты $d_{1}$ и $d_{2}$. С этой целью заметим, тто компоненты $w_{x}, w_{y}, w_{z}$ вектора ш даются формулами (20) непосредственно; а чтобы получить компоненты $u_{x}, u_{y}$, $u_{z}$ вектора $u$, нужно в формулах (20) вместо $X_{1}, Y_{1}, Z_{1}$ подетавить компоненты $X, Y, Z$ вектора $v$, а вместо $X_{2}, Y_{2}, Z_{2}$ компоненты $w_{x}, w_{y}, w_{s}$ вежтора $w:$ Следовательно:
\[
\begin{aligned}
u_{\infty}=Y w_{z}-Z w_{y} & =Y\left(X_{1} Y_{2}-Y_{1} X_{2}\right)-Z\left(Z_{1} X_{2}-X_{1} Z_{2}\right)= \\
& =X_{1}\left(Y Y_{2}+Z Z_{2}\right)-X_{2}\left(Y Y_{1}+Z Z_{1}\right) .
\end{aligned}
\]

Прибавляя в последней части этого равевства к уменьшаемому и вичитаекому по $X X_{1} X_{2}$, получим:
\[
\begin{aligned}
u_{x} & =\left(X X_{2}+Y Y_{2}+Z Z_{2}\right) X_{1}-\left(X X_{1}+Y Y_{1}+Z Z_{1}\right) X_{2}= \\
& =\left(v \partial_{2}\right) X_{1}-\left(v v_{1}\right) X_{2} .
\end{aligned}
\]

Таким же образом найдем, что
\[
u_{y}=\left(\boldsymbol{v} v_{2}\right) Y_{1}-\left(v v_{1}\right) Y_{2}, \quad u_{z}=\left(\boldsymbol{v} v_{2}\right) Z_{1}-\left(v v_{1}\right) Z_{2} .
\]

Отсюда вытекает, что
\[
u=\left[v\left[v_{1} v_{2}\right]\right]=\left(v \mathfrak{y}_{2}\right) v_{1}-\left(v v_{1}\right) v_{2} .
\]

Иными словами,
\[
\begin{array}{l}
d_{1}=v v_{2}, \\
d_{2}=-v v_{1} .
\end{array}
\]

Формула разложения двойного векторного произведения (23) нахопит очень часе применение в приложениях векторного исчи. сления. Из этой формулы вытекает, между прочим, что свог. ством сочетательности векторное произведение не обладае , В самом деле, первое из этих двоиных произведений выражается формулой (26) непосредственно, а для второго та же формула (26) дает:
\[
u^{\prime}=\left[\left[\boldsymbol{v} \boldsymbol{v}_{1}\right] \boldsymbol{v}_{2}\right]=-\left[\boldsymbol{v}_{2}\left[\boldsymbol{v} \boldsymbol{v}_{1}\right]\right]=\left[\mathfrak{v}_{2}\left[\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}\right]\right]=\left(\boldsymbol{v}_{2} \boldsymbol{v}\right) \boldsymbol{v}_{1}-\left(\boldsymbol{v}_{2} \boldsymbol{v}_{1}\right) \mathfrak{v} .
\]

Если бы $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}^{\prime}$, то имело бы поэтому место равенство:
\[
\left(\boldsymbol{v} \boldsymbol{v}_{1}\right) \boldsymbol{v}_{2}=\left(\boldsymbol{v}_{2} \boldsymbol{v}_{1}\right) \boldsymbol{v} .
\]

Это значит, что равенство $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}^{\prime}$, требуемое свойством сочетательности, имеет место только в том исключительном случае, когда векторы $\boldsymbol{v}_{2}$ и $v$ коллинеарны и притом имеют совершеніо определенное отношение длин.