Іравильнал прецессия.
14. Если при движении твердой системы остается неподвижной некоторая точка $O$ (см. рубр. 24 предыдущей главы), то состояние движения представляет собою во всякий момент вращение вокруг некоторой оси, проходящей через точку $O$; оба аксоида $L$ и $\Lambda$ представляют собою в этом случае конические поверхности с вершинами в точке $O$ (конусъ Пуансо), которые соприкасаются друг с другом в каждый момент по общей образующей, меняющей свое положение как на одном, так и на другом конусе (ось дзижения). Так как в этом случае скольжение по оси отсутствует, то всякое дєшжение твердий системь вокру неподвижной точки О происходит такиян образон, как будто некоторый конус, неразрывно связанный с данной системой и имеюиий вериину в точке $O$, катится без скольжения по неподвижном конусу с той же верииной.
15. Замечательный пример твердых движений около неподвижной точки представляют так называемые правильные прещессии. В связи с учением об относительном движении они могут быть определены следующим образом. Представим себе твердую систему $S$, равномерно вращающуюся вокруг неразрывно с нею связанной оси $f$; положим, далее, что әта ось пересекает некоторую неподвижную ось в постоянной точке и равномерно вращается вокруг последней. Абсолютное движение, составлонное из равномерного гереносного вращения шрямой $f$ вокруг неподвижной оси $p$ и относительного движения системы $S$, равномерно вращающейся вокруг $f$, называєтся правильным пречессионным движением, ипи правильной пречессией; неподвижная ось $p$ называетея осью прецессии; ось $f$, остающаяся неподвнжпої в твердой системе — осью систємы; неподвижная же точка $O$, в которой пересекаются обе осп, — полюсом прецессии.

Прецессия, очевидно, определена, если заданы (в пространстве и в твердой системе) полюс $O$ и угловые скорости составляющих движений — одна постоянная в пространстве, другая постоянная в твердой системе. Если $\bar{\omega}_{1}$ есть угловая скорость вращения системы вокруг прямой $f$ (фиг. 47), а $\bar{\omega}_{2}$ — угловая скорость вращения оси вокруг неподвижной прямой $p$, то угловая скорость абсолютного вращения, т. е. правильного прецессионного двнжения, шв во всякий момент выражается суммой:
\[
\bar{\omega}=\bar{\omega}_{1}+\bar{\omega}_{2} ;
\]

таким образом, во всяком правильном пренессионном
Фиг. 47. движении угловая скюэость в каждый момент представляет соӧою сумну двух вєкторов поспоянной длияы, один из которьх сохраняет постоянне ноложение в пространстве, а другой — в твердой системе.

Обратно, легко убедиться, что это свойство вполне характеризует среди движений, сохраняющих постоянную точку, те, которые мы называли правильными прецессиями; опо может быть поэтому рассматриваемо как новое их определение. В самом деле, положим, что некоторая система совершает движение около неподвижной точки с угловой скоростью $\omega$, которая в каждыћ момент представляет собою сумму двух векторов $\vec{\omega}_{1}$ и $\bar{\omega}_{2}$, имеющих постоянные длины и удовлетворяющих формулированным зыше условиям. Если при этом прямые действия этих векторов $f$ и $p$ проходят через точку $O$ и вторая из них занимает постоянное положение в пространстве, то твердое движение системы можно представить себе составленным нз двух равномерных вращений вокруг осей $f$ и $p$ с угловыми скоростями соответственно $\bar{\omega}_{1}$ и $\bar{\omega}_{2}$.
16. При правильной прецессии построенный на векторах $\bar{\omega}_{1}$ и $\bar{\omega}_{2}$ параллелограм с вершиной в точке $O$ также равномерно вращается вокруг своей стороны, расположенной на прямой $p$; вследствие постоянства длин $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ он сохраняет также свою форму; вследствие әтого, в частности, остается постоянны єкалярное произведение
\[
\overline{\omega_{1}} \bar{\omega}_{2} \text {. }
\]

Ивымн словами, диагогаль әтого параллелограма, дающая в каждый момент прямую действия угловой скорости $\bar{\omega}=\bar{\omega}_{1}-\bar{\omega}_{2}$ прецессии, т. е. соответствующую ось движения, во все время двихения сохрачяет постоянние углы как с прямой $p$, так и е $f$; отсюта вытекает: при правильной прецессии об́а аксоида представлятот соӧою ируглье конусь (Пуансо).
1\%. Правильные прецессии, при которых постоянный скаляр $\bar{\omega}_{1} \bar{\omega}_{2}$ отличен от нуля, назнваются прогрессивными илп регрессивжыми в зависимости от того, имеет ли әта гостоянная положительное или отрицательное значение, т. е. образуют ли угловые скорости $\bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}$ острый или тупой угол.

В первом случае каждая угловая скорость обращена в ту же сторону, что и проекция на нее второй угловой скорости; во втором случае они обращены в противоположные стороны. Этим п объясняется название прогрессивной и регрессивной прецессии.

Выбрав на каждой из двух осей $p$ и $f$ (прецессии п системы) по произволу сторону обращения и обозначив соответствующие единичные векторы через $\vec{x}$ и $\boldsymbol{k}$, будем иметь:
\[
\bar{\omega}_{1}=\mu k, \bar{\omega}_{2}=\overline{
u_{k}},
\]

где $\mu$ и г суть скаляры; каждый из этих скаляров имеет положительное или отрицательное ьначение в зависимости от того, происходит ли соответствующее вращение в правую или в левую сторону относительно ориентированной оси вращения. Отсода следует, что $\bar{\omega}_{1} \bar{\omega}_{2}=\mu
u \cos \theta_{0}$, где $\theta_{0}$ означает угол между версорами $\bar{x}$ и $k$; знак произведения этих трех множителей устанавливает, к какому из двух видов принадлежит данное прецессионное движение.

В случае $\theta_{0}=\frac{\pi}{2}$, который мы заранее исключили, настоящий критерий неприложим, и прещессию можно по произволу считать прогрессивной или регрессивной.
18. Другую классификацию правильных прецессий получаем, сличая относительное расположение двух круглых конусов Пуансо. Еели представлять себе эти конусы образованными целыми прямыми, то здесь, очевидно, возможно только три случая (если, конечно, исключить случан, гогда один из двух конусов внрождается в плоскость): либо кгждый конус расположен вне другого, либо подвижной конус расположен внутри неподвижного, либо неподвижный конус расположен внутри подвижного (фиг. 48).

Мы не будем входнть в рассмотрение критериев, отличающих эти случаи один от другого, и ограничимся выводом уравнений движения в эйлеровых углах (III, рубр. $89-31$ ). За начало примем полюс предессип, за оси $\zeta$ и $z$ неподвижного и подвижного триэдров примем ориентированные оси $p$ и $f$, угол между которыми равен $\theta_{0}$; тогда $\psi=\widehat{\xi N}$ даст аномалию линии узлов $\mathcal{N}$ на плоскости, перпендикулярной в точке $O$ к оси $\zeta \equiv p$, а даст аномалию оси $x$ на плоскости, перпендикуляраой в точке $O$ к оси $z \equiv f$; таким образом, будем пметь:
\[
\dot{\varphi}=\mu, \quad \dot{i}=
u
\]

Кнтегрируя эти уравнения, мы получим уравнения правильной прецессии:
\[
\theta=\varphi_{0}, \quad \varphi=\mu t+\varphi_{0}, \quad \psi=v t+\frac{1}{\dagger},
\]

где $\theta_{0}, \varphi_{0}, \psi_{0}$ суть эйлеровы углы при начальном положении твердой свстемы. Совершенно ясно, что и, обратно, три ураввения (18) всегда выражают правильное прецессионное движение, для которого $O \zeta$ есть ось прецессии, а $O z$ — ось системы.
Фиг. 48.
19. Правильная прецессия велли. Замечательный пример правильной прецессии представляет движение земли около своего центра $O$; более того, именно от этого частного случая ведет свое название прецессия. Из элементарной космографии известно, что земля равномерно вращается вокруг своей полярной оси $f$ в левую сторону (против часовой стрелки, т. е. с запада на восток через юг, противоположно видимому движению солнца), совершая полный оборот в течение суток (звездных). Но подярная ось земли $f$ не сохраняет неизменным своего направления относительно неподвижных звезд; напротив того, она, в свою очередь, равномерно вращается (хотя и чрезвычайно медленно) вокруг некоторой прямой постоянного направления $p$, проходящей через центр земли; эта прямая характеризуется тем, что ова перпендикулярна к плоскости эклиптики (т. е. эллиптической орбиты, описываемой землей по законам Кеплера в своем вращении вокруг солнца). Постоянный угол (наименьший) двух прямых (еще не ориентированных) $f$ и $p$ составляет около $23^{\circ}, 5$. Представим себе ось $f$ ориентированной от центра земли к северному полюсу $B$, а ось $p$ ориентированной таким образом, чтобы она составляла упомянутнй выше острый угол с полупрямой $O B$. Наиболее древние астрономические наблюдения при сопоставлении их с наблюдениями последних столетий обнаружили, что
земная ось $O B$ вращается вокруг оси $p$ (ориентированной по установленному выше согташению) в сторону движения часовой стрелки (т. е. с востока на запад), совершая полный оборот в период приблизнтельно в 26000 лет (звездных), который получил название платонгчеспого года. Правильная прецессия этим определена.

Видимое вращение земли вокруг оси $O B$ представляется правосторонним, вращение прямой $f$ вокруг $p$-левосторонним, так что прецессия является регрессивной. Кроме того, если за единицу времени примем звездные сутки, тағ что платонический год будет содержать этих суток $366 \cdot 26000$, т. е., округляя цифры, $360 \cdot 25000=9 \cdot 10^{6}$ дней, то в качестве компонент $\mu$ и v скоростей $\bar{\omega}_{1}$ и $\bar{\omega}_{2}$ при установленной ориентации осей $f$ и $p$ мы получим значения:
\[
\mu=2 \pi, \quad v=-\frac{2 \pi}{9 \cdot 10^{6}} .
\]

Отсюда ясно, что отнотение $\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}$ абсолютных значений этих двух угловых скоростей чрезвычайно мало: оно систавляет число порядка $10^{-7}$.

Складывая $\bar{\omega}_{1}=\mu k$ п $\bar{\omega}_{2}=v \bar{\kappa}$, мы получаем в качестве прямой действия угловой скорости $\bar{\omega}=\bar{\omega}_{1}+\bar{\omega}_{2}$, т. е. в качестве оси прецессионного движения ориентированную прямую $\mathrm{m}$, расположенную вне угла $\widehat{f}$ и наклоненную к $t$ под чрезвычайно малым углом в $0,00867^{\prime \prime}$ (упражнение 7 в конце главы); таким образом, подвижной конус Пуансо, імеющий чрезвычайно малое отверстие, катигся по внутренней поверхности неподвижного конуса, отверстпе которого несколько превыпает $23^{\circ}, 5$. Вследствие крайней незначительности $|
u|$ по сравнению с $е$ т. е. вследствие медленности переносного движения по сравнению с собственным движепием, можно в первом приближении движечие вемли рассматрпвать как простое вращение вокруг полярной осн, считая последнюю неподвижной в пространстве; так әто обыкновенно и делается; и денствительно, в течение большого числа лет и даже столетий вращение прямой $f$ вокруг оси $p$ остается почти совершенно незаметным. Но с течением тысячелетий әто отклонение становится доступным астрономическим наблюдениям. Так, например, некоторые созвездия, видимые в настоящее время только в южном полушарии, в отдаленнье времена (примерно около 3000 лет назад) были видны в средиземной полосе, как әто обнаруживают различные места из библейских и гомеровскіх сказаний.
20. Иредварение равноденствий. Изложенные свойства прецессионного движения непосредственно приводят к объяснению әтого астрономического явления.

Как указано в предыдущей рубрике, эклиптика представляет собою не что иное, как плоскость, в которой происходит видимое с земли годовое движение солнца (кеплерово, а в более грубом приблияении — круговое), от которого зависит смена времен года. Рассмотрим вместе с ней плоскость земного экватора (т. е. жеподвижную плоскость, проходящую чөрез центр земли $O$ перпендикулярно к полярной осп $O B$ ); пусть $N$ будет ее пересечение с плоскостью эклиптики (фиг. 49). Солнце в этом своем движении, левостороннем относительно ориентированной оси $p$ (см. выше), один раз в год пересекает положит льную полупрямую $N$. Этот момент п представляет собою момент весеннего равноденствия; пересечение прямой $N$ с противоположной стороны происходит в момент осеннего равноденствия. Сообразно әтому вся прямая $N$ называетея равноденспвенной пряной; если угодно, ее можно рассматривать, как линию узлов в спстеме отсчета, установленной в рубр. 18 при помощи эйлеровых углов.

Bropoе из уравнений (18) обнаруживает, что равноденственная прямая вращается в плоскости эклиптики с угловой скоростью $i=v ;$ второе равенство (19) показывает, что это движение происходит чрезвычайно медленно, так что в течение рлда дет әта прямая может считаться неподвижной. Но в течение веков движение прямой $N$ становится заметным. Так как $<0$, то это движение направлено влево по отношению к оси эклиптики $p$ и оси мира $f$ (обращенной к северному полюсу земли), т. е. происходит по часовой стрелке; это приводит к предварению, или прецессии равдоденствий, вследствие которых в промежуток, составляющий, примерно, 13 иго звездных лет (половина платонического года), происходит полное обращевие температурных условий, характеризующих вречена года в данном месте земли.