§ 11 ТЕОРИЯ ПОЛЯ

119. Дифференцирование вектора

Обобщим понятие дифференцирования на случай переменного вектора зависящего от некоторого численного параметра т. Будем откладывать вектор от некоторой определенной точки — например начала координат О (рис. 87). При изменении параметра конец переменного вектора опишет некоторую кривую (L). Пусть и ОМ — положения переменного вектора при значениях параметра. Отрезку соответствует разность и отношение

дает некоторый вектор параллельный отрезку ММ. Предельное положение этого вектора при если

Рис. 87.

оно существует, и будет представлять собою производную

Эта производная есть очевидно вектор, направленный по касательной к кривой (L) в точке М. Он также зависит от и его производная по дает вторую производную и т. д.

Разложим вектор по трем основным векторам :

Определение (22) даст тогда

и вообще

т. e. дифференцирование вектора сводится к дифференцированию слагающих этого вектора.

Известное правило дифференцирования произведения обобщается на случай произведения скаляра на вектор, а также и на случай скалярного и векторного произведений, так что имеют место формулы:

где - скаляр, векторы, зависящие от Промерим, например, формулу Левая часть ее представляется в виде

Тот же результат получим, как нетрудно видеть, и для правой части. Считается, конечно, что производные, о которых идет речь, существуют. В формулах из существования производных

от сомножителей вытекает существование производных и у произведения [ср. I, 47]. Совершенно элементарно доказывается обычное правило дифференцирования суммы векторов. Если точка М движется по некоторой кривой (L), то радиус-вектор этой точки есть функция времени t. Дифференцируя радиус-вектор по t, получим вектор скорости движущейся точки:

Длина этого вектора будет равна производной от пути s по времени t, а направление будет касательно кривой (L). Полученный вектор скорости также зависит от времени и, дифференцируя его, получим вектор ускорения

Если мы примем за независимую переменную длину кривой s, то производная от по s будет представляться единичным вектором касательной т. е. вектором длины единица, направленным по касательной. Действительно, в [I, 70] мы имели т. е. отношение длины хорды к длине соответствующей дуги стремится к единице. То же справедливо, очевидно, и для кривых в пространстве [I, 160]. Из этого факта и определения (22) при непосредственно вытекает, что длина упомянутого выше вектора касательной действительно равна единице.