§ 4. Сфероидальные координаты. Свойства сфероидальных функций

Рассмотрим решение волнового уравнения в координатах обладающих симметрией вращения и определяемых квадратичной формой

(r - расстояние от оси вращения). При изложении воспользуемся результатами работы [85]. Скалярное волновое уравнение имеет вид

Уравнение (2.47) допускает разделение переменных в вытянутых и сплюснутых сфероидальных координатах. Для вытянутых координат (рис. 2.4) и связь с декартовыми прямоугольными координатами задается формулами

где межфокусное расстояние.

Рис. 2.4.

Рис. 2.5.

Коэффициенты Ляме определяются по формулам

Подставив (2.49) в (2.47), получим

Используя метод разделения переменных, ищем частное решение в виде и приходим к уравнениям

где X — постоянные разделения.

Произведя в (2.51) замену получим

Решением первого уравнения (2.52), ограниченным в интервале [-1, 1], являются вытянутые сфероидальные угловые функции рода первого порядка степени Второму уравнению (2.52) удовлетворяют вытянутые сфероидальные радиальные функции

Таким образом, частное решение уравнения (2.50) имеет вид

причем представляет собой функцию, регулярную внутри сфероида, а при соответствует расходящимся юлнам.

Общее решение — линейная комбинация частных:

Для сплюснутых сфероидальных координат (рис. 2.5) и связь с прямоугольными декартовыми задается формулами

Для коэффициентов Ляме имеем

Подставив (2.56) в (2.47), получим

Сравнивая уравнения (2.50) и (2.57), устанавливаем, что первое переходит во второе при замене Поэтому решение уравнения (2.50) можно получить из уравнения (2.54), если в последнем сделать указанную замену, а именно

Функции называются сплюснутыми сфероидальными угловыми функциями I рода первого порядка степени сплюснутыми сфероидальными радиальными функциями рода первого порядка степени

Вытянутые сфероидальные угловые функции I рода обычно определяют рядом по присоединенным функциям Лежандра

Штрих над суммой в (2.59) указывает на то, что суммирование производится только по четным если четное, и по нечетным, если нечетное. При

Для сплюснутых сфероидальных угловых функций разложение по функциям Лежандра получается из (2.59) заменой на

Рассмотрим решение векторного уравнения (2.6). Если то (2.6) можно представить в виде

Уравнение (2.61) эквивалентно системе

В осесимметричном случае поэтому в выражении отсутствует производная по Проектируя (2.62) на оси координат, имеем

Как видно из (2.62), система разбивается на две независимые скалярные системы. Первая содержит неизвестные компоненты , вторая — Производя замену

получаем, что в каждой системе два первых уравнения удовлетворяются тождественно, а третье превращается в уравнение (2.47), в котором заменено на или

Итак, решение уравнения (2.61) в осесимметричном случае выражается через решение скалярного уравнения (2.47) по формулам

Подробно сфероидальные функции и их свойства рассмотрены в монографии [119].