§ 5. Периодические задачи дифракции упругих волн на сферических полостях

Рассмотрим бесконечное тело, содержащее ряд одинаковых сферических полостей радиуса центры которых находятся на оси Расстояние между центрами двух соседних полостей обозначим через [17].

Предположим, что в теле распространяется плоская продольная волна

где вектор направления распространения волны; радиус-вектор. Если вектор составляет угол с осью и лежит в плоскости , то разложение по сферическим волновым функциям представится в форме

Полагаем также, что поверхности полостей свободны от нагрузки

Учитывая периодичность задачи, решение представим в виде

Ряды для сходятся равномерно в рассматриваемой области и удовлетворяют соответствующим уравнениям, если выполняются условия

где — целые числа. Для вязко-упругого тела эти ряды сходятся равномерно и абсолютно, если

Применяя теорему сложения для сферических волновых функций (2.40) с учетом, что равно нулю или получаем в одной из систем координат

где

Удовлетворяя условиям (8.33), приходим к бесконечной системе

Коэффциенты в (8.36) совпадают с (8.6), если опустить индекс

Как видно из (8.36), для неизвестных получена однородная система. Если рассматриваемая задача имеет единственное решение, то Следовательно, продольная волна, падая на бесконечный ряд сферических полостей, не порождает волн, определяемых потенциалом

Для исследования свойств системы (8.36) с неизвестными и сделаем в ней замену

Для новых неизвестных получается система в канонической форме

Коэффициенты (8.38) определятся по формулам (8.9), если опустить в них индексы

В коэффициенты системы (8.38) входят суммы рядов типа 00

Принимая во внимание выражение сферических функций Ханкеля через цилиндрические функции полуцелого индекса, согласно формуле (7.28) получаем оценку

где некоторая постоянная.

Используя неравенство (8.40), можно доказать так же, как и в § 1 настоящей главы, что система (8.38) принадлежит классу систем нормального типа, если соседние полости не соприкасаются. В случае справедливости теоремы единственности решения, эта система имеет единственное ограниченное решение, которое приближенно может быть найдено методом редукции.

Аналогичным образом решаются задачи дифракпии плоских волн с потенциалом или на ряде одинаковых сферических полостей, а также, когда на поверхностях задана гармоническая нагрузка. В результате получаются бесконечные системы такого же типа, как и система (8.36) .