Глава 8. ДИФРАКЦИЯ ВОЛН В МНОГОСВЯЗНЫХ ТЕЛАХ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ПОЛОСТЯМИ

В настоящей главе решены задачи дифракции упругих волн на нескольких сферических препятствиях. Рассмотрены также периодические, двояко- и троякопериодические задали. Решение сведено к бесконечным алгебраическим системам относительно неизвестных постоянных. Кратко проведено их иследование. Более подробно бесконечные системы исследованы в монографии [44].

§ 1. Граничные задачи для тел с несколькими сферическими границами

Рассмотрим упругое бесконечное тело, содержащее сферических полостей радиуса Предположим, что установившиеся движения тела вызываются внешними усилиями приложенными к поверхностям полостей [14,22, 28]. Здесь сферическая координатная система, связанная с полостью, для которой поверхность совпадает с поверхностью полости.

Использовав (2.34) и (2.36), представим решение задачи для каждой системы координат в виде

Применив теоремы (2.40) и (2.42), вектор перемещений представим в координатах

(см. скан)

Подставим вектор И (8.2) в выражения для напряжений (2.45) и построим разложение и вектора напряжений на границах по системе векторных функций Заданные на поверхностях полостей векторы представим в виде

Удовлетворив граничным условиям

получим бесконечную систему алгебраических уравнений

(см. скан)

а выражения для получаются из (8.6) заменой функции Ханкеля на функцию Бесселя.

Проведем исследование системы (8.5). Сделаем в ней замену неизвестных

Тогда система примет канонический вид

Коэффициенты системы (8.8) задаются формулами

Коэффициенты с верхним левым индексом 2 получаются из коэффициентов с индексом 1 заменой в них на и на Используя асимптотики (2.39), (2.44), получаем при и оценку

Рассмотрим ряд

Члены этого ряда, начиная с некоторого превосходят коэффициенты системы (8.8). Поэтому, если докажем сходимость ряда (8.11), то тем самым будет доказано, что ряд, составленный из коэффициентов системы (8.8), также сходится. Сумма ряда (8.11) не превосходит сумму следующего ряда:

Но последний ряд сходится (это можно установить аналогично тому, как и в случае ряда (7.10)), так как следовательно, определитель системы (8.8) является определителем нормального типа. Согласно теореме единственности решения рассматриваемой граничной задачи и ограниченности величин система (8.8) имеет единственное ограниченное решение.

Аналогично может быть рассмотрена задача дифракции упругих волн в теле с несколькими несоприкасающимися сферическими полостями в случае второй и третьей граничных задач.