Глава 10. ДИФРАКЦИЯ ИЗГИБНЫХ ВОЛН В ПЛАСТИНАХ

В настоящей главе решены задачи дифракции изгибных волн в пластинах постоянной толщины с вырезами и включениями в классической теории и уточненной теории типа Тимошенко. Рассмотрены пластины с одним, несколькими или рядом круговых препятствий. Для всех задач приведены количественные результаты.

§ 1. Динамическая напряженность пластин с круговым вырезом

Рассмотрим неограниченную пластину постоянной толщины, однородную и изотропную. Пусть эта пластина имеет одно круговое отверстие радиуса Связываем с центром этого отверстия полярную систему координат . В качестве источника возбуждения выбираем нагрузку, изменяющуюся во времени по закону

Вначале рассмотрим решение в классической постановке. Как показано в § 3 первой главы, нахождение решения сводится к решению двух уравнений Гельмгольца (1.69). На краях пластины необходимо задать два граничных условия. Полагаем, что в направлении оси распространяется плоская изгибная волна с прогибом

который в полярной системе координат определится формулой

Считаем, что на краях заданы условия (1.66). Полный прогиб, решая (1.69) методом разделения переменных, представим в виде

где функция Ханкеля I рода; неопределенные постоянные.

Моменты и перерезывающие силы определяются по формулам

В (10.4) приняты обозначения

Если в заменить на получим Удовлетворяя граничным условиям (1.66), определяем неизвестные постоянные

где

Аналогично решаются задачи, когда на крае отверстия задают условия (1.67) и (1.68). Эти случаи рассмотрены в работе [54].

Перейдем к решению задачи в рамках теории типа Тимошенко, которое сводится к решению уравнений (1.89). Предполагаем, что на отверстие падает изгибная волна [122] с потенциалом

Решение уравнений (1.89) представляем в виде рядов

Из (10.7) по формулам (1.88) находим прогиб пластины и углы поворота, а затем по (1.71) — моменты и перерезывающие силы в пластине, которые имеют вид

Здесь применены обозначения

(см. скан)

Заменив в на получим формулы для

Для нахождения неизвестных постоянных необходимо удовлетворить граничным условиям. Полагаем край выреза свободным от напряжений, т. е. должно быть выполнено

В результате удовлетворения (10.10) для неизвестных коэффициентов получаем

Рис. 10.1.

Рис. 10.2.

где

Аналогично находим решение и для других видов граничных условий.

В работе [100] для задачи дифракции плоской изгибной волны на круговом отверстии в классической постановке получены количественные результаты. На рис. 10.1 показано распределение момента в точке и перерезывающей силы в точке в зависимости от параметра где . С применением теории типа Тимошенко задача дифракции медленной изгибной волны на отверстии в пластине решена в работе [122]. На рис. 10.2 приведены значения амплитуд момента отнесенные к для различных отношений радиуса отверстий к толщине в зависимости от где

круговая частота; . Линия соответствует решению для плоского напряженного состояния.

Отметим, что в работе [110] решены задачи дифракции гармонических изгибных волн, возбуждаемых точечным источником вблизи кругового отверстия в пластине, а в работе [129] рассмотрена задача изгибных колебаний бесконечной пластины с круговым отверстием, на участках края которого заданы динамические нагрузки, изменяющиеся по синусоидальному закону.