§ 2. Применение теорем сложения в случае многосвязных областей

При решении задач для многосвязных областей связываем с каждой граничной поверхностью «местную» систему координат так, чтобы граничная поверхность совпадала с одной из координатных поверхностей. В каждой из этих координатных систем представляем решение исходных уравнений в виде ряда с разделенными переменными, в который входят неизвестные постоянные, и решение для всей области, занимаемой телом, получается как сумма решений для отдельных односвязных областей. Применяя теоремы сложения специальных функций, входящих в решения, решения для всего тела записываем в каждой из систем координат в виде ряда с разделенными переменными этой же системы координат и удовлетворяем условиям на граничных поверхностях. В итоге получаем бесконечные системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных постоянных, входящих в решения уравнений в виде ряда с разделенными переменными [44]. Этим методом в работе [50] решаются задачи дифракции электромагнитных волн на нескольких телах для одного волнового уравнения.

Пример. Рассмотрим плоскую задачу дифракции волн в круговом цилиндре радиуса цилиндрическими круговыми полостями радиуса Введем систему цилиндрических координат так, чтобы координатная поверхность совпадала с цилиндрической поверхностью, ограничивающей тело, с граничными поверхностями полостей (рис. 3.1). Полагаем, что решение задачи находится из решения системы уравнений Гельмгольца

и подчинено такому же количеству граничных условий на каждой граничной поверхности

Согласно принципу суперпозиции потенциалы определятся как сумма потенциалов каждой односвязной области

Применяя метод разделения переменных, запишем решение уравнения (3.12) для внутренней односвязной области

Рис. 3.1.

и внешней односвязной области

Здесь и далее под понимаем функцию Ханкеля I рода.

Теперь полное решение для всей области (3.15) представим в форме

Для определения неизвестных постоянных необходимо удовлетворить всем граничным условиям. Для этого, используя теоремы сложения цилиндрических функций (2.17), решение (3.18) записываем в каждой из выбранных систем координат:

и

Функции задаваемые на границе, разложим в ряды Фурье

Подставим (3.19) и (3.21) в левую часть (3.1), а (3.22) в правую. Сравнивая величины при получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных постоянных

где получаются при подстановке в вместо функций соответственно.

Таким образом, задача нахождения неизвестных потенциалов приведена к отысканию неизвестных постоянных из бесконечной алгебраической системы (3.23).

В случае падающей волны поле разбивается на два: поле падающей волны и отраженное

где потенциалы всего поля; потенциалы падающей волны; потенциалы отраженного поля. Для отраженного поля рассматриваются граничные условия, когда нагрузка на граничных поверхностях создается падающей волной. Аналогично решаются задачи и в случае сферических поверхностей.

Рассмотрим особенности, возникающие при решении задач дифракции упругих волн. Задачи для многосвязных областей, ограниченных круговыми цилиндрическими и сферическими поверхностями, характерны тем, что системы волновых функций на граничных поверхностях не зависят от волновых чисел. При решении этих задач остается один источник появления бесконечных систем — использование теорем сложения для переразложения решений от одной системы координат к другой. Можно провести полное исследование систем и получить конкретные результаты.

В задачах для многосвязных областей, ограниченных эллиптическими, цилиндрическими и сфероидальными поверхностями, имеется три источника появления бесконечных систем: переразложение периодических функций, соответствующих различным волновым числам, по общей системе периодических функций; разложение параметров Ляме соответствующей системы координат по системе периодических функций; использование теорем сложения для переразложения решений из одной координатной системы в другую.

При решении рассматриваемых задач можно было бы, не применяя теорем сложения, получить бесконечные системы алгебраических уравнений, если разложить левые части граничных условий на каждой из полостей по полной ортогональной системе функций [35]. Полученные при этом коэффициенты бесконечных систем выражаются через определенные интегралы сложной структуры, что вызвало бы затруднение не только при получении конкретных результатов, но и при исследовании бесконечных систем. При использовании теорем сложения соответствующие коэффициенты выражаются в явной форме через специальные функции, свойства которых известны, поэтому применение теорем сложения является предпочтительным.