§ 2. Полубесконечная трещина. Плоская задача

Рассмотрим взаимодействие плоской гармонической волны сжатия с полубесконечным разрезом в упругом пространстве в условиях плоской деформации [97, 118]. Разрез произведен вдоль отрицательной полуоси Движение происходит в плоскости (рис. 6.4). Примем для простоты, что падающая волна движется в направлении оси . В результате получаем на оси следующие условия:

Потенциал падающей плоской волны примем в виде

причем временной множитель опущен, амплитуда.

Решение волновых уравнений для потенциалов отраженных волн ищем в виде интегралов Фурье

Здесь — неизвестная функция; функция аналитична в комплексной плоскости с двумя полубесконечными разрезами вдоль вещественной полуоси и При этом рассматривается действительная и положительная при — ветвь этой функции.

Смещения и напряжения выражаются через потенциалы посредством формул

Рис. 6.4.

Решение задачи строится с помощью метода Винера — Хопфа. Из соотношений (6.13), (6.14) получим величины при

где

Обращая (6.15) относительно преобразования Фурье, получаем

где

Отметим, что решение в форме (6.13) удовлетворяет условию и условиям излучения. Используя оставшиеся граничные условия, находим

Подставляя эти соотношения в (6.16), исключая из них и вводя обозначение

приходим к уравнению Винера — Хопфа

Далее осуществляется факторизация функции

где функции, аналитические соответственно в верхней и нижней полуплоскостях

Не останавливаясь более на подробностях решения (они изложены, например, в работах [97, 118]), запишем выражения для смещения берегов разреза и напряжения на продолжении разреза

Отсюда определяется, например, уровень напряжений вблизи вершины разреза

причем эта формула пригодна не только для полубесконечных разрезов, но и для конечных трещин, когда где I — характерная длина трещин. Величину К назовем коэффициентом интенсивности напряжений.