§ 3. Волны сдвига в четвертьпространстве с круговыми цилиндрами

Рассмотрим четвертьпространство с несоприкасающимися полостями радиуса продольные оси которых лежат в плоскости, делящей угол четвертьпространства пополам (рис. 9.14). Построим решение уравнения (9.1) при условиях на границах тела [44]

Здесь система координат, связанная с полостью. Симметрично полостям относительно плоскостей вводим еще координатные системы Обозначим полярные координаты полюса в системах через

Решение уравнения (9.1) представим в виде

Рис. 9.14.

где неизвестные постоянные, которые необходимо выбирать так, чтобы удовлетворяло первым двум условиям (9.17).

Воспользовавшись соотношениями (9.4), а также выражением

получим следующие равенства:

причем полярные координаты точек на соответствующих линиях или

Если для неизвестных постоянных выполняются условия

или

то равенства (9.20) выполняются тождественно.

Для удовлетворения условиям на поверхностях цилиндрических полостей, применяя теорему сложения цилиндрических функций, решение записываем в одной из систем координат

После удовлетворения граничным условиям при учитывая (9.8) и (9.21), получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно

Заменяя неизвестные, как это делалось ранее, систему (9.23) преобразуем в систему с определителем нормального типа. Тогда ее приближенное решение может быть найдено методом редукции.

В случае, когда одна или обе грани четвертьпространства неподвижно закреплены, связь между будет другой. Для обеих закрепленных граней

Если, например, грань свободна от напряжений, а неподвижно закреплена, то

Для этих случаев в результате решения получаются бесконечные системы, аналогичные (9.23).

Для четвертьпространства можно также рассмотреть задачу о дифракции плоской волны сдвига на полостях. В этом случае в решение (9.18) добавляется ряд

когда грани свободны от напряжений, и ряд

когда грани неподвижно закреплены. В этих выражениях амплитуда падающей волны; полярные координаты с полюсом на ребре; угол между осью и направлением, противоположным направлению распространения волны.

Ряды (9.24) и (9.25) представляют решение дифракционной задачи для клина без полостей при соответствующих условиях на гранях Для удовлетворения условий на цилиндрических полостях эти решения необходимо переписать в координатах с помощью теоремы сложения

где полярные координаты полюса в системе