§ 4. Волны сдвига в слое с цилиндрической полостью

Рассмотрим упругий слой толщиной Пусть в этом слое содержится цилиндрическая полость радиуса продольная ось которой параллельна плоским граням слоя и совпадает с осью (рис. 9.15). Предположим, что волны сдвига в слое возбуждаются гармонической нагрузкой, приложенной к поверхности полости, а плоскости слоя свободны от напряжений [44]

Введем бесконечное количество вспомогательных систем координат с началами на оси так, что координаты начала в системе при при

Рис. 9.16.

Рис. 9.15.

Представляя решение (9.1) в виде

нетрудно установить, что оно удовлетворяет последним двум условиям (9.26). Ряд является решением уравнения (9.1), когда т. е. толщина слоя не кратна половине длины возбуждаемой волны. Ряд удовлетворяет уравнению (6.1), если Последнее неравенство эквивалентно требованию, чтобы на толщине не размещалось нечетное число четвертей длины волны. Остальные две суммы по в (9.27) являются решениями (9.1) при любых соотношениях между и длиной волны.

Представим теперь решение (9.27) в координатах

В (9.28) приняты следующие обозначения:

Удовлетворив первому условию (9.26), приходим к двум бесконечным системам линейных алгебраических уравнений

Бесконечные системы (9.29) аналогичны системам, полученным в § 5 седьмой главы. Учитывая неравенство

можно заключить, что системы, полученные из (9.29) заменой принадлежат к классу систем нормального типа, если Приближенное решение системы (9.29) может быть найдено методом редукции.

Ряд (9.27) с постоянными определенными из (9.29), является решением рассматриваемой задачи, если коэффициенты Фурье нагрузки при больших имеют порядок малости не ниже, чем

В случае, когда плоские поверхности слоя неподвижно закреплены, решение (9.1) представится в следующем виде:

Дальнейшее решение аналогично случаю свободных от напряжений плоских поверхностей слоя.

Применяя метод, описанный в § 1 настоящей главы, можно решить задачи дифракции волн сдвига для упругого слоя с несколькими цилиндрическими полостями или для полуслоя с полостями.

Рассмотрим, например, полуслой с единичной полостью (рис. 9.16). Полагаем, что все плоские поверхности слоя свободны от напряжений, а на поверхности полости заданы произвольные условия. Введем две последовательности систем координат как показано на рис. 9.16. Представляем решение уравнения (9.1) в форме

В этом случае условия на поверхностях будут удовлетворены. Применяя теперь теорему сложения цилиндрических функций, удовлетворяем краевым условиям на поверхности полости. В результате для определения получаем бесконечную систему алгебраических уравнений.