§ 3. Взаимодействие изгибных волн с препятствиями произвольной формы

В предыдущих параграфах рассмотрены задачи дифракции изгибных волн на круговых препятствиях. Решение для них получено с помощью метода разделения переменных. В настоящем параграфе для исследования дифракции изгибных волн на некруговых отверстиях применим метод возмущения формы границы, изложенный в третьей главе.

Рассмотрим пластину с криволинейным отверстием, ограниченным контуром под действием падающей изгибной волны. Для решения задачи в классической постановке необходимо найти решение двух уравнений Гельмгольца (1.69) при следующих условиях на контуре отверстия:

В формуле (10.17) через обозначена координата криволинейной координатной системы одна из поверхностей которой совпадает с контуром В качестве контура рассмотрим такой, что функция, конформно отображающая плоскость 6 с отверстием в виде единичного круга на плоскости с

отверстием имеет вид (3.38). Конкретный вид отображающей функции для различных отверстий приведен в § 5 четвертой главы.

Разложим основное напряженное состояние на контуре отверстия в ряды по параметру

Компоненты напряженно-деформированного состояния также разложим в ряды по 8

Подставляя разложения (10.19) в уравнения (1.69) и граничные условия (10.17) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем для приближения уравнения

и граничные условия

Для определения величин напряженно-деформированного состояния в координатах приближение преобразуем следующим образом: левые части формул (10.20) выразим, использовав формулы преобразования при повороте на угол через составляющие в системе координат и функции угла затем, учитывая (3.38) и (10.19), представим левые части как функции Раскладывая таким образом вычисленные левые части выражений (10.20) в ряды по и собирая коэффициенты при получаем выражения, аналогичные (3.42). Эти выражения подставляем в условия (10.22) и получаем граничные условия приближения. При этом общее решение уравнений (10.21) в полярных координатах с учетом условий затухания на бесконечности имеет вид

Таким образом, для пластин с отверстием, мало отличающимся от кругового, задача сведена к последовательности задач в полярных координатах. Основные уравнения остаются одинаковыми для всех приближений, а поправки входят только в правые части граничных условий.

В случае применения теории типа Тимошенко, ход решения будет аналогичен, но несколько усложнится из-за того, что необходимо решить три уравнения Гольмгольца.