§ 5. Некоторые другие линейные модели деформируемых тел

Запишем линейные уравнения движения изотропного упругого тела с учетом взаимодействия температурного поля и поля деформаций. Полагаем, что массовые силы и источники тепла отсутствуют, а термические возмущения малы. Тогда уравнения движения имеют вид [52]

Представив вектор перемещений в форме (1.2), преобразуем систему (1.90), (1.91) к виду

Температуру определяем по формуле

Как следует из (1.92), учет взаимодействия температурного поля и поля деформаций вызывает изменения только в уравнении для волны расширения. Тензор напряжений

или

Для установившегося движения термоупругого тела первое уравнение системы (1.92) можно представить в виде

Следовательно, исходная система эквивалентна трем волновым уравнениям — двум скалярным и одному векторному:

В отличие от волновых чисел продольных волн, волновое число является действительным. Температуру можно определить через потенциалы следующим образом:

Уравнения движения термовязкоупругого тела согласно принципу соответствия получаются из системы (1.90), (1.91) при замене постоянных Ляме интегро-дифференциальными операторами по времени. В случае установившихся движений термовязкоупругого тела указанные операторы превращаются в комплексные числа. Это приводит к тому, что для термовязкоупругого тела справедливы уравнения (1.96), (1.98).

Когда термоупругое или термовязкоупругое тело находится в условиях плоской деформации, решение находим из решений трех уравнений

Для задач о термоупругих движениях на границе необходимо задавать еще одно дополнительное условие и начальное условие для температуры. В случае конвективного теплообмена между телом и окружающей средой термическое условие имеет вид

Рассмотрим случай упругого тела с несимметричным тензором напряжений. Основные уравнения запишем в виде [75]

где некоторая динамическая характеристика типа момента инерции.

Представив векторы смещения и вращения в виде суммы

из системы (1.102) получим

Здесь первое уравнение описывает распространение продольной волны, второе — волны вращения, а два последних — поперечных волн. Исключим из третьего и четвертого уравнений системы (1.104) вектор В результате получим

В случае установившегося движения уравнение (1.105) представляется в виде

где

При этом первых два уравнения системы (1.104) получаем в форме

Следовательно, система (1.104) для установившихся движений эквивалентна двум скалярным и двум векторным уравнениям. Вектор определяется по формуле

Определяя потенциальные функции из соотношений (1.103), находим векторы и по которым вычисляем тензоры деформаций и поворота

Компоненты тензоров напряжений определяем по формулам

Если тело находится в установившемся движении при условии плоской деформации, то, полагая

систему уравнений (1.106), (1.107) преобразуем к трем скалярным уравнениям

В случае антиплоской деформации для установившихся движений положим

Система уравнений движения преобразуется к трем скалярным уравнениям

При рассмотрении краевых задач решения системы (1.106), (1.107) следует подчинить краевым условиям

Таким образом, для рассмотренных моделей упругих тел уравнения движения преобразованы к волновым уравнениям. В случае установившихся движений решение задач сводится к решению уравнений Гельмгольца. В последующих главах на основе приведенных соотношений получены решения конкретных задач.