§ 2. Цилиндрическая полость. Плоская волна

Рассматривается взаимодействие плоской нестационарной волны расширения с круговой цилиндрической полостью в безграничной упругой среде в условиях плоской деформации [107] (рис. 11.6). Пусть в падающей волне напряжение по площадке, лежащей на поверхности фронта, есть , а на площадке, ортогональной фронту — Тогда на поверхности полости

Очевидно, наложив на поле (11.31) поле напряжений отраженных волн вида

Рис. 11.9.

Рис. 11.10.

Рис. 11.11.

получим окружность отверстия, свободную от напряжений. Таким образом, задача состоит в отыскании поля отраженных волн, потенциалы которых удовлетворяют волновым уравнениям (1.10), такого, что его напряженное состояние на границе имеет вид (11.32). Кроме того, на бесконечности должны выполняться условия затухания, а начальные условия должны быть нулевыми.

Условия (11.32) можно разложить в ряд Фурье

(см. скан)

Из формул (11.33) следует, что лишь члены разложения с не обращаются в нуль после огибания отверстия фронтом волны.

Рис. 11.12.

Целесообразно рассмотреть вспомогательную задачу, когда к поверхности полости приложены напряжения, зависимость которых от времени определяется функцией Хевисайда

Далее решение задачи (11.34) может быть использовано в качестве функций влияния в интегралах Дюамеля при определении напряженного состояния, обусловленного граничными условиями (11.33).

Для удобства вспомогательную задачу будем решать для следующих трех случаев:

Наша цель — определить кольцевое напряжение на поверхности полости. Обозначим решение задачи (11.35) через , задачи (11.36) через и задачи (11.37) через Тогда компоненты напряжений, обусловленные граничными условиями (11.33), определяются через решение задач (11.35) — (11.37) с помощью интегралов Дюамеля

Полное напряжение на поверхности полости определяется формулой

Для решения вспомогательных задач (11.35)-(11.37) в работе [107] к волновым уравнениям (1.10) применено интегральное преобразование Лапласа по времени в следующей форме:

Здесь — параметр преобразования.

Тогда для расходящихся волн имеем

где — функция Ханкеля II рода; произвольные постоянные.

Далее формулы (11.41) используются для решения задачи в пространстве изображений. Полученные при этом выражения (вследствие громоздкости они здесь не приводятся) обращаются затем с помощью теории вычетов и контурного интегрирования. Вычисления проведены для аддп, в случае ступенчатой волны. На рис. 11.7, 11.8 показано вычисленное таким образом кольцевое напряжение на поверхности отверстия в точках отнесенное к . Как видно из рис. 11.7, 11.8, в случае динамического нагружения коэффициент концентрации выше, чем в статическом случае. Отметим, что вычисленные три формы колебаний достаточно достоверно описывают напряженное состояние контура отверстия лишь тогда, когда фронт падающей волны покинул отверстие. Для более ранних моментов времени этих форм недостаточно.

В работе [108] тем же способом определены перемещение и скорости точек поверхности полости. На рис. 11.9, 11.10 представлены для На рис. 11.11, 11.12 — перемещения обусловленные напряжениями и перемещения границы полости обусловленные напряжениями