§ 6. Дискообразная трещина. Волна сдвига

Исследованию дифракции упругих волн расширения на дискообразной трещине или жестком включении посвящены работы [111, 116]. В данном параграфе изложим решение задачи о дифракции волны сдвига на дискообразной трещине [114]. Эта задача интересна для теории трещин, а также для геофизики и сейсмологии. Трудность ее решения состоит в том, что в случае дифракции волн сдвига имеем асимметричную граничную задачу, что осложняет решение.

В безразмерных цилиндрических координатах отнесенных к радиусу а трещины, последняя определяется условиями

Пусть на трещину падает упругая гармоническая волна сдвига, движущаяся в положительном направлении и вектор смещений в ней имеет вид

где - орт оси (в плоскости ), временной множитель опущен.

Отраженные трещиной волны описываются волновыми потенциалами, удовлетворяющими уравнениям Гельмгольца

причем компоненты вектора смещений и тензора напряжений определяются следующими формулами:

На поверхности трещины должны выполняться граничные условия

Кроме того, должны быть непрерывны при должны удовлетворять условиям излучения на бесконечности.

В условиях (6.50) напряжения в падающей волне имеют вид

Скалярные волновые функции удовлетворяющие уравнениям (6.47), имеют следующее интегральное представление с помощью метода функции Грина:

где

Плотности источников определяются по формулам

Используя граничные условия, получаем

Для того чтобы разделить два последних уравнения, воспользуемся представлениями

Подставляя их в (6.52), интегрируя слева и справа по складывая и вычитывая, получаем

где постоянная находится с помощью условий на ребре. Первое из уравнений (6.53) преобразовывается в уравнение Фредгольма II рода

где

Предположим, что Тогда

Для следует поменять местами в формуле (6.55). Интегральное уравнение (6.54) может быть решено итерационным методом.

Для решения второго уравнения (6.53) вводится вспомогательная функция

в результате чего уравнение принимает вид

Решение этого уравнения проводится аналогично решению первого уравнения (6.53). Окончательно выражения для имеют вид

Постоянная определяется из условий на ребре.

Динамический коэффициент интенсивности напряжений определяется как

Из полученного решения следует

(см. скан)

Если получаем статический коэффициент интенсивности.