§ 2. Эллиптические координаты. Свойства функций Матье

Преобразование

Рис. 2.2.

приводит к координатам эллиптического цилиндра (рис. 2.2), в которых скалярное уравнение установившихся волновых движений принимает вид

где межфокусное расстояние координатной поверхности;

Однозначными частными решениями уравнения (2.19) будут функции

Здесь постоянная разделения. Функции периодические функции Матье, а -соответственно модифицированные и комбинированные функции Матье. Общее решение получается суммированием частных решений посредством формулы

где - одна из функций Матье или или Если в (2.22) взять то потенциал будет регулярным внутри эллиптического цилиндра. Если используются или то и при представляют собой расходящиеся волны, удовлетворяющие условиям излучения.

Решение (2.22) в случае периодичности по оси принимает вид

Для двумерного случая и вместо решения (2.22) получаем следующее выражение:

В формулах (2.22), (2.23) - произвольные постоянные.

Периодические функции Матье для обычно задают в виде тригонометрических рядов

При для коэффициентов в формулах (2.24) имеют место асимптотические представления

Тогда при больших

При фиксированных параметрах уравнения Матье ряды (2.24) сходятся абсолютно и равномерно в любой конечной области плоскости и допускают почленное интегрирование и дифференцирование любое число раз.

Асимптотические представления для модифицированных комбинированных функций Матье при [50] с учетом (2.11) запишутся в виде

При фиксированных для функций Матье имеют место асимптотики (2.26), (2.27). Для справедливы соотношения

Асимптотики первых производных по при имеют вид

Периодические функции Матье на интервале образуют полную ортогональную систему.

Векторное волновое уравнение в координатах эллиптического цилиндра разделяется на три скалярных волновых уравнения так же, как и в круговых цилиндрических координатах.

Теоремы сложения для волновых функций эллиптического цилиндра приведены в работе [50]. Если — две системы координат, причем расположение второй относительно первой задается координатами ее начала и углом между осями то

Выражения величин в виде рядов по цилиндрическим функциям содержатся в работе [49]. Первое из соотношений справедливо при а второе — для Подробные сведения о функциях эллиптического цилиндра и их свойствах приведены в монографии [65].