§ 2. Нелинейные тела (линеаризованные задачи)

Используя лагранжеву систему координат, рассмотрим нелинейное упругое изотропное тело. Обозначим лагранжевы координаты, которые совпадают в недеформированном состоянии с декартовыми, через Будем считать, что упругий потенциал является произвольной дважды непрерывно дифференцируемой функцией алгебраических инвариантов тензора деформаций Грина:

Частные формы упругого потенциала приведены в работе [40].

Рассмотрим упругое тело с параллельными оси цилиндрическими полостями произвольной формы, загруженное вдоль этой оси. Применим линеаризованную теорию, когда начальное состояние описывается теорией конечных деформаций. Величины начального состояния обозначим индексом «нуль». Для рассматриваемого вида загружения получим однородное начальное напряженно-деформированное состояние

( — обобщенные напряжения).

Интенсивность поверхностной нагрузки действующей в начальном деформированном состоянии, отнесенная к единице площади до деформации, связана следующим образом:

Поскольку имеем

При заданной форме упругого потенциала первое соотношение (1.26) устанавливает связь между второе — между и Линеаризованные соотношения упругости имеют вид

Выражения для взяты из работы [38], причем в них сохранено только три инварианта.

Анализируя (1.27), выражения для и находим

Соотношения (1.27) и (1.28) напоминают соотношения упругости для линейного упругого трансверсально изотропного тела, однако последнее неравенство (1.28) показывает, что полного совпадения нет.

Линеаризованные уравнения можно представить в виде

Чтобы сформулировать граничные условия, необходимо знать составляющие поверхностных сил. В произвольной цилиндрической системе координат они принимают вид

Решение системы уравнений (1.29) для произвольной цилиндрической системы координат можно представить в форме [36]

Функции определяются из уравнений

Следовательно, задачи сводятся к решению (1.32), определению перемещений по (1.31) и удовлетворению граничным условиям на 5] в напряжениях (1.30). В смещениях граничные условия на однородны.

Рассмотрим распространяющуюся под углом к оси вол ну. Тогда

Из уравнений (1.32), используя (1.33), получаем уравнения для определения функций

и, представляя из (1.34) находим

Таким образом, получаем три скалярных уравнения второго порядка.

Пусть тело находится в условиях плоской деформации в плоскости Тогда из (1.29) получаем основную систему уравнений

Отличные от нуля компоненты тензора напряжений, как следует из (1.27) и (1.28), имеют вид

Из (1.38) и (1.39) следует, что плоская линеаризованная задача при рассматриваемом виде нагружения переходит в плоскую задачу классической линейной теории упругости, если положить

Указанная аналогия дает возможность получить решение линеаризованной задачи, исходя из решения линейной задачи. Необходимо отметить, что от начальной нагрузки кроме величины зависят также величины Исключение представляет лишь тело с потенциалом типа

Составляющие поверхностной нагрузки (1.30) позволяют записать для плоской деформации граничные условия на

Таким образом, получаем дополнительные к (1.40) условия, которые свидетельствуют о том, что в случае плоской деформации для линеаризованных задач левые части граничных условий на умноженные на соответствуют правым частям граничных условий на для линейной задачи теории упругости.

Если тело находится в условиях антиплоской деформации в плоскости то имеют место соотношения (1.14). Из (1.31), положив

получим

Функция определяется из уравнения

Напряжения вычисляются по формулам

Сравнивая соотношения (1.43), (1.44) с (1.16) — (1.18), замечаем аналогию между линеаризованной при данном типе начальной нагрузки задачей и линейной классической задачей для антиплоской деформации

Для антиплоской деформации граничные условия на имеют вид

Перейдем к рассмотрению нелинейных упругих несжимаемых тел. В этом случае упругий потенциал будет функцией двух первых инвариантов тензора деформаций Грина. Для несжимаемого тела должно выполняться условие несжимаемости

Из условий (1.24) и (1.47) получаем

Полагаем, что упругий потенциал является дважды непрерывно дифференцируемой функцией.

Уравнения движения совместно с линеаризованными условиями несжимаемости имеют вид

Линеаризованные соотношения упругости с учетом линеаризованных условий несжимаемости запишем в форме

В (1.49) и (1.50) кроме перемещений входит величина характеризующая всестороннее давление.

В выражении (1.50)

Обозначения, используемые в (1.49), и остальные обозначения в (1.50) взяты из работы [38].

Для несжимаемых тел справедливо соотношение (1.25). Для начального состояния запишем

Первое выражение (1.52) служит для определения через X, а второе — для определения Соответствующие поверхностные силы на полостях, необходимые при формулировке граничных условий на определяются по формулам

Решение основной системы (1.49) в произвольной цилиндрической системе координат представимо в виде

Функции и определяем из уравнений

В случае установившихся движений тела, когда волны распространяются под углом к оси имеют место соотношения (1.33). Поэтому находим из уравнений (1.35), (1.36), в которых

Если тело находится в условиях антиплоской деформации в плоскости то справедливы соотношения (1.14). Положив в (1.54)

найдем Для определения функции из второго уравнения (1.55) получим

Отличные от нуля компоненты тензора напряжений имеют

Из последних выражений (1.53) и (1.57) получим граничные условия на части

Сравнивая выражения линейной теории упругости с формулами (1.57) — (1.60), замечаем аналогию между линеаризованной задачей об антиплоской деформации и классической

Сравнивая граничные условия на приходим к выводу, что правые части граничных условий на для линеаризованной задачи, умноженные на соответствуют правым частям граничных условий классической задачи.