Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. Нелинейные тела (линеаризованные задачи)Используя лагранжеву систему координат, рассмотрим нелинейное упругое изотропное тело. Обозначим лагранжевы координаты, которые совпадают в недеформированном состоянии с декартовыми, через
Частные формы упругого потенциала приведены в работе [40]. Рассмотрим упругое тело с параллельными оси
( Интенсивность поверхностной нагрузки
Поскольку
При заданной форме упругого потенциала первое соотношение (1.26) устанавливает связь между
Выражения для Анализируя (1.27), выражения для и находим
Соотношения (1.27) и (1.28) напоминают соотношения упругости для линейного упругого трансверсально изотропного тела, однако последнее неравенство (1.28) показывает, что полного совпадения нет. Линеаризованные уравнения можно представить в виде
Чтобы сформулировать граничные условия, необходимо знать составляющие поверхностных сил. В произвольной цилиндрической системе координат они принимают вид
Решение системы уравнений (1.29) для произвольной цилиндрической системы координат можно представить в форме [36]
Функции
Следовательно, задачи сводятся к решению (1.32), определению перемещений по (1.31) и удовлетворению граничным условиям на 5] в напряжениях (1.30). В смещениях граничные условия на Рассмотрим распространяющуюся под углом к оси
Из уравнений (1.32), используя (1.33), получаем уравнения для определения функций
и, представляя
Таким образом, получаем три скалярных уравнения второго порядка. Пусть тело находится в условиях плоской деформации в плоскости
Отличные от нуля компоненты тензора напряжений, как следует из (1.27) и (1.28), имеют вид
Из (1.38) и (1.39) следует, что плоская линеаризованная задача при рассматриваемом виде нагружения переходит в плоскую задачу классической линейной теории упругости, если положить
Указанная аналогия дает возможность получить решение линеаризованной задачи, исходя из решения линейной задачи. Необходимо отметить, что от начальной нагрузки кроме величины
Составляющие поверхностной нагрузки (1.30) позволяют записать для плоской деформации граничные условия на
Таким образом, получаем дополнительные к (1.40) условия, которые свидетельствуют о том, что в случае плоской деформации для линеаризованных задач левые части граничных условий на Если тело находится в условиях антиплоской деформации в плоскости
получим
Функция
Напряжения
Сравнивая соотношения (1.43), (1.44) с (1.16) — (1.18), замечаем аналогию между линеаризованной при данном типе начальной нагрузки задачей и линейной классической задачей для антиплоской деформации
Для антиплоской деформации граничные условия на
Перейдем к рассмотрению нелинейных упругих несжимаемых тел. В этом случае упругий потенциал будет функцией двух первых инвариантов тензора деформаций Грина. Для несжимаемого тела должно выполняться условие несжимаемости
Из условий (1.24) и (1.47) получаем
Полагаем, что упругий потенциал является дважды непрерывно дифференцируемой функцией. Уравнения движения совместно с линеаризованными условиями несжимаемости имеют вид
Линеаризованные соотношения упругости с учетом линеаризованных условий несжимаемости запишем в форме
В (1.49) и (1.50) кроме перемещений входит величина В выражении (1.50)
Обозначения, используемые в (1.49), и остальные обозначения в (1.50) взяты из работы [38]. Для несжимаемых тел справедливо соотношение (1.25). Для начального состояния запишем
Первое выражение (1.52) служит для определения
Решение основной системы (1.49) в произвольной цилиндрической системе координат представимо в виде
Функции
В случае установившихся движений тела, когда волны распространяются под углом к оси
Если тело находится в условиях антиплоской деформации в плоскости
найдем
Отличные от нуля компоненты тензора напряжений имеют
Из последних выражений (1.53) и (1.57) получим граничные условия на части
Сравнивая выражения линейной теории упругости с формулами (1.57) — (1.60), замечаем аналогию между линеаризованной задачей об антиплоской деформации и классической
Сравнивая граничные условия на
|
1 |
Оглавление
|