Глава 6. ДИФРАКЦИЯ ВОЛН НА ТРЕЩИНАХ И РАЗРЕЗАХ
В данной главе исследуется взаимодействие упругих волн с препятствиями в виде прямолинейных разрезов и трещин. Теория трещин в настоящее время интенсивно развивается. Имеется обширная литература, посвященная в первую очередь исследованию статического распределения напряжений около трещин и разрезов, например [51, 76, 80, 97]. При этом базисным решением является решение задачи для упругой плоскости с эллиптическим отверстием, которая позволяет применить методы теории функций комплексного переменного.
Динамические задачи теории трещин и задачи дифракции волн на трещинах исследованы в значительно меньшей степени. Это обусловлено в первую очередь трудностью получения эффективного математического решения, поскольку для упругого тела с трещиной классический метод разделения переменных в динамическом случае неприменим.
Динамические задачи для тел с трещинами подразделяются на два класса: дифракция волн на стационарных трещинах и распространение трещин. В последнее время появились также некоторые исследования, в которых рассматривается взаимодействие упругих волн с движущимися трешинами. В настоящей главе рассмотрены задачи первого класса. Приводятся наиболее характерные результаты. В некоторых случаях промежуточные выкладки при изложении методов решения опущены.
§ 1. Полубесконечные трещины. Волна сдвига
Задача о дифракции плоской волны на полубесконечном разрезе в условиях аитиплоской деформации может быть решена в параболических координатах, введенных формулами (2.65), (2.66). В § 7 главы 4 рассмотрена аналогичная задача для параболического выреза. Если фокусное расстояние выреза устремить к нулю, вырез превращается в полубесконечную трешину. Решение для трещины [86] получается путем подстановки выражений (4.61), (4.63) в выражения для напряжений, после чего полагается 
Полученные ряды суммируются по формуле [1]
Обозначения те же, что и в § 5 второй главы, а также § 7 четвертой главы; 
угол, образуемый направлением распространения волны с осью 
Аналогично (6.1) для падающей волны 
при любом 
получим
Тогда окончательно решение задачи о дифракции на трещине имеет вид
Здесь 
перемещение; 
амплитуда падающей волны. Напряжение 
выражается формулами
Впереди трещины 
или 
имеем
Вблизи вершины трещины из формул (6.3), (6.4) нетрудно получить разложения
Полярные координаты 
связаны с параболическими координатами соотношениями (2.66).
Из формул (6.6) следует, что напряжение а, имеет вблизи вершины трещины особенность порядка 
Укажем, что в статической задаче особенность в вершине имеет порядок 
.
На рис. 6.1 показано изменение напряжения сдвига 
отнесенного к 
вдоль теневой (штриховая кривая) и освещенной (сплошная кривая) сторон трещины, вычисленное по формулам (6.4). Абсцисса на графике умножена на функцию 
. С помощью приведенных кривых можно определить разрыв, который претерпевает напряжение при переходе через трещину.
Аналогично может быть рассмотрена задача о дифракции плоской волны на жесткой неподвижной полосе нулевой толщины. Для этого необходимо в решении для жесткого параболического включения (формула 
положить 
и просуммировать ряд с учетом (6.1). Получим
Рис. 6.1.
Рис. 6.2.
Рис. 6.3.
Вдоль полосы действуют напряжения 
имеющие вид
Вдоль отрицательной полуоси 
впереди полосы имеем
Вблизи вершины 
Как и в случае трещины, напряжение 
имеет в вершине полосы особенность порядка 
На рис. 6.2 приведены напряжения, подсчитанные по формулам (6.8) для освещенной (сплошная кривая) и теневой (штриховая) областей. На рис. 6.3 показано распределение напряжений впереди полосы 
В отличие от задачи для
трещины дифракция волн на полосе происходит даже при нулевом угле падения 
Волнообразная линия на рис. 6.3 является результатом интерференции волн вдоль отрицательной полуоси 
