§ 4. Конечная трещина. Плоская задача

Рассмотрим задачу о дифракции плоской гармонической волны на трещине конечной длины (см. рис. 6.4) в постановке плоской деформации [132]. В этом случае падающая гармоническая волна, взаимодействуя с берегами трещины, порождает отраженные волны расширения и сдвига. Потенциалы отраженных волн удовлетворяют уравнениям (1.12). Связь потенциалов с векторами перемещений осуществляется посредством формулы (1.11). Если падающая плоская гармоническая волна расширения движется в направлении, образующем угол с осью ее потенциал имеет вид

Напряжения в падающей волне определяются формулами

Максимальное значение нормального напряжения в падающей волне равно и предполагается, что оно остается конечным при

Аналогично, в случае падающей волны сдвига потенциал и напряжения имеют вид угол между осью и направлением распространения волны)

Ниже временной множитель будет опущен. Граничные условия на поверхности трещины таковы:

Целесообразно разбить граничную задачу на две: случай А

случай В

Решения для случаев симметричны и антисимметричны по . Решение первоначальной задачи получается суперпозицией решений для случаев . В обоих случаях решения аналогичны. Рассмотрим одно из них. Случай А. Из формул (6.26) имеем

где так что в случае падающей волны расширения

а в случае юлны сдвига

Для того чтобы воспользоваться синус- и косинус-преобразованием Фурье, задачу (6.31) надо разделить на вещественную (четная по ) и мнимую (нечетная по ) части.

Пусть, например, нормальные напряжения четны по Потенциалы могут быть представлены в виде интегралов Фурье

Если ввести функцию

то, используя граничные условия, получим, что определяется из системы двух дуальных уравнений

где

Система уравнений (6.33) после ряда преобразований [131] сводится к системе двух совместных интегральных уравнений Фредгольма II рода, которая может быть решена численно. Аналогично решается задача для нормальных напряжений, нечетных по

Поскольку наибольший интерес вызывает поведение напряжений и (или) смещений в окрестности конца трещины, в величинах типа в формулах (6.32) выделим главные члены и с их помощью определим напряжения. Так, в случае А в полярных координатах с полюсом в одной из вершин трещины напряжения в ее окрестности имеют вид

Рис. 6.7.

Рис. 6.8.

На рис. 6.7 представлена зависимость величины от нормального волнового числа для значений коэффициента Пуассона для падающей волны расширения, распространяющейся в направлении оси Здесь

В случае В напряженное состояние в окрестности вершины трещины будет

Изменение коэффициента интенсивности отнесенного к в зависимости от волнового числа для падающей волны сдвига показано на рис. 6.8. Можно отметить, что в обоих случаях наблюдается диапазон волновых чисел, при которых коэффициент интенсивности превышает статическое значение. Для волны, длина которой равна примерно половине длины трещины, превышение является максимальным и достигает 20—30%.