§ 4. Динамическая напряженность эксцентрической полой сферы

Рассмотрим осесимметричную задачу о колебаниях упругого шара радиуса с эксцентрической внутренней полостью радиуса [24]. Расстояние между центрами шара и полости равно 6 (рис. 8.7). Полагаем, что к граничным поверхностям приложена нагрузка вида

В дальнейшем, как и в (8.24), множитель опущен.

Для решения задачи воспользуемся следующим представлением вектора перемещений:

Потенциальные функции представим в виде 00

где и - неопределенные постоянные.

Воспользовавшись теоремами сложения (2.40) и (2.41) для представления решения (8.25) в системах координат соответственно и получим

(кликните для просмотра скана)

В (8.26) введены обозначения

Используя полученные соотношения и формулы (2.45), удовлетворяем условиям (8.24). В результате для определения неизвестных постоянных получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений

где

Величины входящие в (8.29), заданы формулами (8.6).

Таким образом, неопределенные постоянные удовлетворяют бесконечной алгебраической системе (8.28). После их нахождения перемещения и напряжения определяются по формулам (2.45). С помощью замены неизвестных

система (8.28) приводится к каноническому виду. Новая система имеет определитель нормального типа. Это доказывает возможность ее приближенного решения методом редукции. При решении задачи предполагалось, что частота внешнего воздействия не совпадает ни с одной из частот собственных колебаний рассматриваемого неконцентрического шара.

В соответствии с равенствами (8.27) элементы матрицы системы (8.28) выражаются через величины и Приведем для этих величин рекуррентные соотношения [24]

Соотношения (8.30) дают возможность последовательно вычислять величины Для этого необходимо определить производные и коэффициенты Для вычисления необходимо предварительно вычислить величины Для получаем такие же рекуррентные соотношения, как и (8.30), (8.31), но в них необходимо сделать замену на

Рассмотрим теперь осесимметричную задачу о колебаниях шара с эксцентрической полостью под действием равномерного внешнего давления Для получения количественных результатов система (8.28) заменялась конечной системой, содержащей тринадцать уравнений. Все линейные размеры отнесены к радиусу полости Параметры задачи изменялись в следующих пределах: На рис. 8.8 и 8.9 показано распределение напряжений на перемычках и для различных

Из приведенных графиков видно, как изменяется напряженное состояние с увеличением частоты внешнего воздействия. Если для малых волновых чисел более загруженной является самая тонкая часть оболочки переменной толщины, то с увеличением максимальные напряжения возникают в ее толстой части. При этом для частот ниже первой собственной максимальным является напряжение а ее в точках а распределение напряжений на линиях

и имеет сходный характер: монотонно убывает при удалении от внутренней границы или монотонно возрастает в этом же направлении, или достигает один раз в некоторой внутренней точке максимального значения. С переходом через первый резонанс напряжения изменяют Уровень напряжений при этом повышается, и для некоторых максимальным становится Монотонный характер в распределении также нарушается с увеличением Для больших частот наиболее напряженной часто является окрестность некоторой внутренней точки шара, и ее положение зависит от волнового числа. Отметим также, что поле напряжений в неконцентрическом шаре существенным образом зависит от величины эксцентриситета. Даже для относительно небольшого напряжения в самых тонкой и толстой частях могут отличаться в 1,5-2 раза, причем для некоторых частот более напряженной является толстая часть.