§ 4. Цилиндрический волновой источник. Особенности напряженного состояния
В предыдущих параграфах в качестве действующей нагрузки выбиралась плоская волна. Такой выбор оправдан по крайней мере в двух случаях: если источник падающей волны находился далеко от препятствия и если рассмотрение других типов волновых нагрузок может вызвать чрезмерные математические осложнения. Однако для практики актуальным является следующий вопрос: насколько существенным оказывается влияние
близко расположенного источника на применимость результатов, полученных для плоской волны.
В связи с этим в данном параграфе изучаются особенности напряженного состояния в окрестности круговой цилиндрической полости при действии цилиндрической волны расширения [105]. Предполагается, что падающая волна порождается источником, расположенным в точке 
(рис. 4.14), и его потенциал можно представить в виде
Требуется найти решение волновых уравнений (4.1) при граничных условиях (4.2) на поверхности полости и условиях излучения на бесконечности. Потенциал 
посредством теоремы сложения цилиндрических функций можно представить в координатах 
полости:
Здесь и далее множитель 
опущен. Общее решение уравнений (4.1) выбирается в виде (4.7). Подставляя (4.30) в граничные условия, определяем произвольные постоянные 
. В результате окружное напряжение на поверхности полости выражается формулой
Здесь
Коэффициент концентрации напряжений 
определим как отношение напряжения 
к радиальному напряжению 
которое возникло бы в той же точке среды при условии отсутствия полости.
Из формулы (4.31) нетрудно получить различные предельные соотношения. Так, устремив 
к бесконечности, найдем выражение для 
совпадающее с выражением, полученным в § 1 для падающей плоской волны. Если устремить к нулю волновое число, выражение для 
совпадает с решением статической задачи.
Для числовых результатов будем использовать абсолютное значение комплексного выражения напряжения 
согласно формуле
Рис. 4.14.
Рис. 4.16.
Рис. 4.15.
(4.10). Выбираем следующие значения 
. Коэффициент Пуассона примем равным 0,25. На рис. 4.15 показано изменение 
в зависимости от волнового числа 
в точке 
а на рис. 4.16 — в точке 
т. е. в теневой зоне. На этих же рисунках изображено решение, полученное для плоской волны. Анализируя рис. 4.15, 4.16, можно заключить, что наблюдается существенное различие между напряженным состоянием в случае цилиндрической и в случае плоской волны, причем это различие имеется главным образом в той части, где
и около 0,5 при 
В случае же действия цилиндрической волны значения коэффициента равны 
и 