§ 7. Периодические задачи дифракции изгибных волн. Исследование бесконечных систем

Рассмотрим неограниченную пластину с бесконечным рядом круговых вырезов радиуса центры которых расположены на одной прямой. Края соседних вырезов не соприкасаются. С центром каждого выреза свяжем полярную систему координат Ой) так, чтобы координатная линия совпадала с краем выреза (см. рис. 7.17).

Решим сначала задачу в классической постановке. Для определения прогиба в каждой из выбранных систем координат решаем уравнение (1.69) и полное решение для всей пластины получаем, суммируя эти решения

Предположим, что на краях вырезов заданы усилия и для соседних вырезов они сдвинуты по фазе на одинаковую величину

Тогда из условий периодичности для неизвестных постоянных имеем

Для того чтобы записать решение в системе координат каждого выреза, воспользуемся теоремой сложения (2.17). В результате для некоторой системы координат (обозначим ее индексом нуль) получим

Подставляя (10.45) в выражения для момента и обобщенной перерезывающей силы и подставляя в условия (10.43), приходим для определения к бесконечной системе алгебраических уравнений

Значения коэффициентов определяют по формулам (10.5).

Бесконечная система (10.48) с помощью замены неизвестных

преобразуется к каноническому виду

В (10.50) коэффициенты имеют вид

где — определитель (10.49). Ряды (10.46) аналогичны рядам (7.25) и (7.33). Волновое число в них является действительным и поэтому в точках скольжения

эти ряды расходятся. Ряды (10.47) имеют мнимое волновое число и аргумент у них положителен, что делает их при всех индексах и аргументах сходящимися.

Воспользовавшись формулами для цилиндрических функций при больших индексах (2.11), (2.12) и неравенством (7.28), получим оценку для коэффициентов (10.51) такую же, как (10.31). Аналогичным образом доказывается, что определитель системы (10.50) является нормальным для всех параметров, кроме точек скольжения.

Рассмотрим решение в рамках теории типа Тимошенко. Задача сводится к решению уравнений (1.89). Вид нагрузки полагаем таким же, как и в случае классической теории. Граничные условия выберем в виде

Решение уравнений (1.89) представим в виде

Здесь, как и ранее, функция Ханкеля I рода; неизвестные постоянные. Из условий периодичности постоянные можно представить в виде

Представляем решение в системе координат с помощью теорем сложения цилиндрических функций

где

Удовлетворяя условиям (10.53), для определения получаем бесконечную систему

Функции задаются формулами (10.9). Проводя в системе (10.57) замену неизвестных

получаем систему в канонической форме

В (10.59) коэффициенты имеют вид

где определитель системы (10.58); алгебраическое дополнение элемента определителя Используя асимптотические формулы для цилиндрических функций и неравенство (7.28), можно доказать, что определитель системы (10.59) является определителем нормального типа для всех входящих в него параметров за исключением точек скольжения — тех точек, где для действительных волновых чисел выполняется равенство

В теории типа Тимошенко до критической частоты среди трех волновых чисел лишь одно, соответствующее медленной изгибной волне, действительное, а два остальных — мнимые. Для частот выше критической все три волновых числа будут действительными.

Таким образом, в случае классической теории для задач дифракции изгибных волн на ряде круговых вырезов существует одно семейство точек скольжения. При использовании теории типа Тимошенко для частот ниже критической имеем одно

семейство точек скольжения, а для частот выше критической — три семейства точек скольжения.

В работе [101] получены основные соотношения для задач дифракции изгибных волн в бесконечной пластине с кольцом одинаковых круговых вырезов с помощью разрабатываемого выше метода. Предполагалось, что пластина трансверсальноизотропна и учитываются поперечные сдвиги и инерция вращения.