§ 4. Сфероидальное тело

С точки зрения практических приложений важно знать, как влияют на распространение волн трехмерные полости и включения произвольной формы. Исследование этого обстоятельства крайне затруднительно, поскольку не удается разделить переменные в волновом уравнении. Исключение составляет случай сфероидального тела. Однако и в сфероидальных координатах векторное волновое уравнение допускает разделение переменных только в осесимметричном случае [68].

Исследуем осесимметричную задачу дифракции плоской гармонической волны на подвижном жестком сфероидальном включении, внедренном в упругую среду [74]. Поле перемещений в случае осевой симметрии можно записать в виде (см. главу 1)

где единичный вектор по угловой координате Потенциалы удовлетворяют волновым уравнениям (1.3). Отнесем среду к вытянутым сфероидальным координатам которые связаны с декартовыми координатами формулами (2.48), причем

Поверхности представляют собой вытянутые софокусные эллипсоиды вращения с главными осями а вырожденная поверхность совпадает с прямолинейным отрезком, соединяющим фокусы (см. рис. 2.4). Полагаем, что поверхность является граничной для включения и среды. Поверхности суть двухполостные гиперболоиды вращения, причем поверхность образует экваториальную плоскость, а дает части оси симметрии, лежащие вне отрезка, соединяющего фокусы.

Скалярное волновое уравнение в сфероидальных координатах имеет вид (2.47). Соотношение (5.19) переписывается следующим образом:

Если включение может перемещаться вместе со средой под действием падающих волн, движущихся в направлении оси граничное условие можно записать в форме

Здесь неизвестная амплитуда поступательного перемещения включения, которая удовлетворяет уравнению

где масса включения; равнодействующая сил, приложенных к включению со стороны упругой среды.

Для удобства перемещение упругой среды можно представить в виде суммы

Здесь - перемещение в падающей волне: — перемещение в поле волн, отраженных неподвижным включением; — перемещение среды при поступательном перемещении включения с единичной амплитудой. Из непрерывности перемещений на граничной поверхности следует

Падающую волну можно выразить через волновые потенциалы

и представить в виде разложения по сфероидальным функциям [88]

где коэффициенты имеют вид

Штрих у знака суммы указывает на независимое суммирование четных и нечетных членов. Постоянные вводятся для нормировки, а величины есть коэффициенты разложения сфероидальных угловых функций в ряды по присоединенным функциям Лежандра (см. формулу (2.59)). Функции радиальные сфероидальные волновые функции I рода [88]. Потенциалы дифрагированных и излученных волн согласно § 4 главы 2 можно представить в виде рядов

Здесь сфероидальные радиальные функции III рода.

Подставляя первую строку соотношений (5.25) в первое условие (5.23), получаем для составляющей перемещения по координате

и соответственно по координате

Здесь Координата в соотношениях (5.26), (5.27) имеет значение

Умножим выражения (5.26), (5.27) соответственно на и и проинтегрируем по от до Тогда в силу ортогональности функций

( - постоянные нормировки; символ Кронекера) получим

Здесь

причем отлично от нуля только при четных Поэтому уравнения (5.28), содержащие четные коэффициенты не связаны с уравнениями, содержащими нечетные коэффициенты. Каждое из уравнений (5.28) распадается на две независимые системы. Подставляя разложения (2.59) в (5.29), для четных получаем

где штрих означает, что при четных суммирование производится только по четным а при нечетных только по нечетным

Первое из уравнений (5.28) можно разрешить относительно и подставить во второе уравнение. Получим

где

В бесконечной системе (5.30) коэффициенты связаны с различными индексами (четные с четными, нечетные с нечетными). Для получения приближенного решения ряды обрываются на некотором члене. Из полученной таким образом конечной алгебраической системы можно найти коэффициенты затем и Таким образом, задача о дифракции на неподвижном сфероиде решена.

Решение задачи определения излученного волнового поля (второе условие проводится аналогично. Для коэффициентов имеем (при )

где

Постоянные можно вычислить, юспользовавшись разложением в ряд по функциям Лежандра угловых сфероидальных функций

Суммарное волновое поле получаем после того, как определены постоянные

Если в полученном решении устремить к нулю, задача о рассеянии волны перейдет в статическую задачу о сфероидальном включении в упругой матрице, испытывающей одноосную деформацию.

Будем характеризовать сфероид параметром являющимся отношением его длины вдоль оси симметрии к экваториальному диаметру. Числовые результаты получены для вытянутого включения сплюснутого и для шара Отношение плотности материала включения к плотности среды коэффициент Пуассона На рис. 5.7

Рис. 5.7.

Рис. 5.8.

показана зависимость амплитуды поступательных движений включения (вытянутого шара (2) и сплюснутого в зависимости от безразмерного волнового числа (отношение длины включения вдоль оси симметрии к длине падающей волны). Общий характер всех трех кривых одинаков. На очень низких частотах движение включения повторяет движение падающей волны. С повышением частоты достигается максимум амплитуды, а когда длина волны приближается к осевому размеру включения амплитуда резко уменьшается.

На рис. 5.8 изображена зависимость амплитуды нормальных напряжений от безразмерной частоты для тех же форм сфероида, что и на рис. 5.7. Сплошные линии соответствуют напряжению в освещенном полюсе, штриховые — в теневом. Напряжения отнесены к напряжениям в падающей волне. Как видно из рис. 5.8, имеет место некоторый диапазон частоты, в котором концентрация напряжений несколько повышается.