Глава 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ И СООТНОШЕНИЯ
В настоящей главе приведены линейные и линеаризованные уравнения движения, а также законы деформирования некоторых наиболее часто применяемых моделей изотропного твердого деформируемого тела. В классической и уточненной постановках изложены основные уравнения изгиба пластин. Путем введения потенциальной функции уравнения движения преобразованы к системе волновых уравнений. Для установившегося движения уравнения сведены к векторным и скалярным волновым уравнениям, что позволяет с единой точки зрения подойти к решению задач для всех линейных моделей изотропного Деформируемого тела.
Изложение проведено в основном в векторной форме. При необходимости обращения к координатной форме для простоты изложения будем использовать прямоугольную декартовую систему координат 
. Как при векторной форме записи, так и при координатной использованы обозначения, принятые в специальной литературе. В первой главе по повторяющимся два и более раз индексам, если особо не оговорено, производится суммирование от 1 до 3; дифференцирование по пространственным координатам обозначается индексами после запятой, дифференцирование по времени — точкой.
§ 1. Линейное упругое и вязко-упругое тело
Линейное уравнение движения в векторной форме для идеально упругого изотропного однородного тела при отсутствии объемных сил имеет вид
Если вектор перемещений представить в виде
где первое слагаемое описывает потенциальное поле, а второе — соленоидальное, то уравнение (1.1) распадается на два волновых уравнения
Тензор деформаций определим следующим образом:
или
(звездочка обозначает транспонирование).
Связь между тензором напряжений и тензором деформаций выражается формулой
или в координатной форме
Для установившихся движений частиц тела зависимость 
от времени учитывается сомножителем 
и уравнения (1.3) принимают вид
После нахождения 
из (1.8) деформации и напряжения определяются по формулам (1.4) — (1.7).
Рассмотрим некоторые частные случаи деформирования упругих тел. Если упругое тело находится в условиях плоской деформации в плоскости 
то 
В этом случае векторный потенциал 
представим в форме
и уравнения (1.3) примут вид
Перемещения определятся формулой
Для установившихся движений получим
При плоской деформации компоненты тензора напряжений 
отличны от нуля. В случае обобщенного плоского напряженного состояния постоянную X необходимо заменить на
Если упругое тело находится в условиях антиплоской деформации, то
Тогда решение представится в форме
Уравнения движения запишем в виде
Подставляя (1.15) в (1.2), получаем
Компоненты тензора напряжений 
определяются по формулам
Для установившегося движения уравнение (1.16) принимает вид
При решении краевых задач для рассматриваемого тела к уравнениям движения в потенциалах необходимо присоединить условия на границе 
области V, занятой телом. Если на части границы 
заданы напряжения, а на 
перемещения, то граничные условия можно записать в виде
В общем случае движения необходимо учесть еще начальные или граничные условия по времени. Для установившегося движения 
поэтому нет необходимости удовлетюрять таким условиям. При решении задач для кусочно-неоднородных тел необходимо выполнение условия непрерывности вектора перемещений на границе раздела с учетом того, что правые части (1.20), (1.21) являются составляющими вектора напряжений и перемещений на площадке с нормалью 
Для вязко-упругого тела уравнения движения получаются из принципа соответствия [4], согласно которому в уравнении (1.1) постоянные Ляме 
следует заменить интегро-дифференциальными операторами по времени 
При установившихся движениях операторы 
превращаются в комплексные числа
