§ 3. Круговое включение. Общая задача
Плоская упругая волна распространяется в отрицательном направлении оси 
и взаимодействует с жестким круговым цилиндром (см. рис. 11.6) [89]. Уравнение движения цилиндра плотностью 
имеет вид
Здесь 
смешение цилиндра в направлении оси 
.
Если представить волновые потенциалы и компоненты напряженно-деформированного состояния в виде рядов Фурье, т. е.
то из уравнения (11.42) получим
Принимается, что цилиндр скреплен со средой и сохраняется непрерывность смещения на границе раздела. Поскольку за фронтом падающей волны задана скорость частиц, удобно удовлетворять условию непрерывности, приравнивая на границе раздела компоненты скорости оболочки и среды. Тогда для радиального и касательного направлений получим
Здесь, как и ранее, индекс 
вверху обозначает величины, относящиеся к падающей волне, а звездочка — к отраженным волнам.
Рис. 11.13.
Рис. 11.14.
Рис. 11.15.
Как показывают соотношения (11.44), (11.45), для поступательного движения цилиндра требуются только коэффициенты рядов начиная с 
Тогда потенциалы отраженных волн достаточно выбрать в виде
Если к волновым уравнениям (1.10), в которых введено безразмерное время 
применить интегральное преобразование Лапласа по 
то в области изображений для расходящихся волн получим
где
Изображения компонентов напряженно-деформированного состояния в поле падающей волны (которая определена в предыдущем параграфе) для 
имеют вид
Здесь 
Применяя преобразование Лапласа к уравнениям (11.44), (11.45), подставляя туда выражения (11.46), (11.47) и используя оператор инверсии к преобразованию Лапласа, в случае ступенчатой падающей волны получаем
где 
Аналогично (11.48) получаются формальные выражения для скорости и ускорения цилиндра.
Интеграл в решении (11.48) вычисляется с помощью теории вычетов и интегрирования вдоль полубесконечного разреза, поскольку функции Макдональда имеют точку ветвления в нуле. Числовые результаты (смещение, скорость и ускорение жесткого цилиндра для 
показаны на рис. 11.13-11.15.
