§ 3. Внутренние граничные задачи. Исследование бесконечной системы
Пусть упругое тело занимает конечную многосвязную область, ограниченную сферическими поверхностями радиуса 
Радиус внешней сферы равен 
Предположим, что установившееся движение такого тела вызывается заданными на граничных поверхностях усилиями. Тогда граничные условия имеют вид
Рассмотрим задачу, используя потенциалы 
. В этом случае решение уравнений (2.31) и (2.36) для потенциалов представим рядами
Применив теоремы сложения (2.40) и (2.41), перепишем решение (8.13) в одну из координатных систем
где
С помощью формул (2.45) вычисляем в каждой координатной системе вектор напряжений 
Удовлетворяя граничным условиям (8.12), приходим к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных постоянных 
В (8.16) используются обозначения (8.6). Система (8.16) состоит из двух независимых бесконечных систем.
Для исследования свойств системы (8.16) сделаем в ней замену неизвестных
а от неизвестных 
при 
перейдем к 
по формулам (8.7). Для новых неизвестных получим систему в каноническом виде
Коэффициенты и при 
определяются по формулам
Остальные коэффициенты находят по формулам
Коэффициенты с верхним левым индексом 2 получаются из коэффициентов с индексом 1 при замене и на 
на и 
Рассмотрим ряд
где через 
обозначена величина 
. Сходимость последнего ряда доказывается так же, как и ряда (8.11). Рассмотрим сходимость оставшихся рядов.
Учитывая асимптотические формулы для 
при 
получаем следующие оценки при 
Такие же оценки имеют место и для при 
(здесь один из индексов: либо к, либо 
равен нулю).
Исходя из неравенств (8.21), строим ряд, мажорирующий ряды, составленные из 
и 
Следовательно, необходимо доказать сходимость ряда (8.22). Для величин 
имеем следующие неравенства:
Учитывая неравенство
из (8.22) получаем
Сходимость ряда (8.23) доказывается так же, как и в седьмой главе. Отсюда следует, что определитель системы (8.18) является определителем нормального типа. Учитывая ограниченность свободных членов системы, приходим к выводу, что данная система имеет единственное ограниченное решение, если определитель отличен от нуля. Из рассмотрения исключаем случаи собственных частот. Таким же путем решаются вторая и третья граничные задачи.
