Глава 7. ДИФРАКЦИЯ ВОЛН В МНОГОСВЯЗНЫХ ТЕЛАХ, ОГРАНИЧЕННЫХ КРУГОВЫМИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
В настоящей главе приводится решение задач дифракции упругих волн в телах, содержащих препятствия цилиндрической формы. Задачи сведены к бесконечным системам алгебраических уравнений. Проведено исследование этих систем. Для ряда задач дифракции упругих волн на цилиндрических поверхностях приведены числовые результаты.
§ 1. Двумерные задачи дифракции упругих волн
Рассмотрим бесконечное упругое тело, имеющее 
цилиндрических несоприкасающихся параллельных полостей кругового поперечного сечения радиуса 
Выберем в теле некоторую плоскость, перпендикулярную полостям. В этой плоскости введем 
систем полярных координат 
так, чтобы их центры совпадали с центрами полостей и координатная линия 
с краем полости.
Рассмотрим вначале случай антиплоской деформации. Перемещения определяются из уравнения (1.19) с учетом (1.17). На краях полостей необходимо задать одно условие. Если отверстия свободны от напряжений, то выполняется условие
Решение (1.19), используя метод разделения переменных для полярной системы координат, в каждой из выбранных систем 
представляем в форме
Применяя первую теорему сложения (2.17) и удовлетворяя граничным условиям, для определения неизвестных постоянных получаем бесконечную систему алгебраических уравнений
Коэффициенты 
получаются из граничных условий. Когда отверстия свободны от напряжений, они имеют вид
Рассмотренная задача описывается одним волновым уравнением, поэтому она аналогична задачам акустики.
Если тело находится в условиях плоской деформации, т. е. вектор перемещения его точек параллелен плоскости 
и не зависит от 
то в случае установившихся движений решение задачи находится из решения уравнений (1.12). Следовательно, для этой задачи имеем два волновых уравнения. На краях полостей необходимо задавать два граничных условия. Поступая далее так же, как и в § 2 третьей главы, после удовлетворения граничным условиям приходим к бесконечной системе
В (7.4) и 
Если на краях полостей задаются 
то коэффициенты имеют вид
Коэффициенты 
получают при замене в (7.6) функций Ханкеля 
Следовательно, для определения неизвестных постоянных получим бесконечную систему алгебраических уравнений. Исследуем ее, когда коэффициенты имеют вид (7.6).
Проведем в системе (7.4) замену неизвестных
После замены приходим к новой системе относительно неизвестных 
где 
- определитель системы (7.7); 
алгебраическое дополнение 
элемента определителя 
Определитель 
так как выполняется теорема единственности для внешней односвязной области.
Используя формулы (2.11) — (2.15), для коэффициентов системы (7.8) при 
получим оценку
Оценим ряд
Учитывая, что полости не соприкасаются, т. е. 
путем последовательности преобразований получаем
Отсюда следует, что последний ряд сходится. Следовательно, сходится ряд (7.10) и ряд 
который мажорируется рядом (7.10). Таким образом, система (7.8) имеет определитель нормального типа. Для идеально упругого тела определитель не равен нулю в силу теоремы единственности решения данной задачи [63]. Для вязко-упругого тела из-за потерь энергии не могут существовать незатухающие во времени свободные колебания, поэтому определитель также не может обращаться в нуль.
Аналогичные результаты получаются и в случае обобщенного плоского напряженного состояния. Для этих задач справедливы замечания, изложенные в четвертой главе.
