Глава 9. ДИФРАКЦИЯ ВОЛН В ТЕЛАХ С ПЛОСКИМИ ГРАНИЦАМИ И ПОЛОСТЯМИ

В настоящей главе приведено решение задач дифракции волн сдвига в полуограниченных телах с цилиндрическими полостями, а также волн кручения в телах со сферическими полостями, содержащих плоские границы. Задачи сведены к решению бесконечных алгебраических систем.

§ 1. Дифракция волн сдвига на круговых цилиндрах в полупространстве

Рассмотрим полуплоскость содержащую конечное число цилиндрических полостей радиуса с осями параллельными оси Сечение тела плоскостью показано на рис. 9.1. С каждой полостью свяжем локальные координаты Полагаем, что волны сдвига в теле возбуждаются гармонической нагрузкой, приложенной к поверхностям цилиндрических полостей. Для общности будем считать, что эта нагрузка зависит от смещения точек границы линейным образом, т. е. имеет место упругая заделка [12].

Для рассматриваемого случая необходимо решить уравнение

при следующих краевых условиях:

Здесь некоторые действительные постоянные.

Для решения поставленной задачи применим метод изображений. Для этого вводим вспомогательных систем координат так, чтобы полюсы и располагались симметрично относительно плоскости Полярные координаты полюса в системах и обозначим через

Рис. 9.1.

Решение уравнения (9.1) представим в виде

где цилиндрическая функция Ханкеля I рода. Как и ранее, в (9.3) временной множитель опущен. В (9.3) входят неопределенные постоянные которые определяются из условий (9.2).

Постоянные Ввыберем такими, чтобы удовлетворяли краевому условию на прямолинейной границе области. Учитывая, что на линии выполняются соотношения

получаем выражение

Равенство (9.5) будет выполняться, если

Следовательно, в случае, когда постоянные удовлетворяют условию (9.6), решение (9.3) будет удовлетворять условию на плоской границе области. Соотношения (9.6) можно рассматривать как бесконечную систему алгебраических уравнений с неизвестными . В частных случаях, когда одна из постоянных а или равны нулю, решение этой системы записывается в явном виде. Так, при а при

Чтобы удовлетворить условиям на цилиндрических полостях, перепишем решение, используя теорему сложения цилиндрических функций, в координатах

Чтобы удовлетворить условиям на цилиндрических полостях, перепишем решение, используя теорему сложения цилиндрических функций, в координатах

Подставляя выражение (9.7) в условие (9.2), представив предварительно функции в виде комплексного ряда Фурье

получаем бесконечную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных постоянных и

Уравнения (9.6) и (9.9) для неизвестных постоянных представляют замкнутую бесконечную систему уравнений.

Для исследования свойств полученной системы в частных случаях, когда а или равно нулю, приводим ее к

каноническому виду аналогично тому, как это сделано в седьмой главе. Можно показать, что определитель системы (9.9) будет определителем нормального типа. В этом случае условие на плоскости удовлетворяется точно. В общем случае смешанного однородного условия на плоской границе приближенное решение также можно получить, выделив из бесконечной системы конечную. Однако в отличие от частных случаев нельзя точно удовлетворить краевому условию при

Рассмотренным методом могут быть также решены задачи с неоднородным условием на плоскости Для этого необходимо предварительно решить задачу для полупространства без полостей.

К рассмотренным задачам сводится задача дифракции волн, распространяющихся в полуплоскости с отверстиями. В этом случае к решению (9.3) следует прибавить потенциал падающей волны, который удовлетворяет однородному условию на прямолинейной границе.