Глава 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ

В данной главе приведены решения скалярных и векторных волновых уравнений для установившихся волновых движений в системах координат, в которых допустимо разделение переменных и которые используются в последующих главах при изучении дифракционных процессов. Рассмотрены круговая цилиндрическая. эллиптическая цилиндрическая, сферическая, сфероидальная и параболическая цилиндрическая координатные системы. Для первых трех из указанных систем приведены теоремы сложения волновых функций. Даны основные свойства используемых специальных функций. Отметим, что в случае нестационарных процессов в результате применения интегрального преобразования Лапласа по времени волновые уравнения также сводятся к уравнениям Гельмгольца. Следовательно, приведенные в настоящей главе результаты справедливы и для нестационарных задач. Отличие состоит лишь в том, что в нестационарном случае волновые числа будут чисто мнимыми.

§ 1. Круговые цилиндрические координаты. Свойства цилиндрических функций

Рассмотрим решение скалярного и векторного волновых уравнений в круговой цилиндрической системе координат Скалярное уравнение для установившихся волн имеет вид

или

Решая это уравнение методом разделения переменных, получаем его однозначное частное решение

где — постоянная разделения.

В решении (2.3) через обозначена одна из цилиндрических функций: — функция Бесселя рода; функция Неймана; — функции Ханкеля 1 и II рода. Если волновое число а мнимое, то в решения входят модифицированные функции Бесселя или функции Макдональда Суммируя частные решения (2.3) и учитывая линейность уравнения (2.2), приходим к общему решению

в котором — произвольная величина, зависящая от постоянных разделения. Когда периодично по оси то решение (2.4) принимает вид

В двумерном случае, когда уравнение (2.2) представляется в виде

где произвольные постоянные.

При использовании цилиндрической функции получаем регулярные на оси решения (2.4), (2.5). В случае бесконечной двумерной области для получения единственности решения уравнения (2.1) необходимо выполнение условий излучения

В случае векторного уравнения

векторное поле можно представить в виде суммы трех векторных полей [69]

в которой продольная часть вектора касательная и нормальная части к поверхности При этом

Из соотношений (2.6) — (2.9) следует, что векторное поле определяется через три скалярные функции каждая из

которых удовлетворяет скалярному волновому уравнению

Остановимся кратко на свойствах цилиндрических функций входящих в решения (2.4), (2.5). Они удовлетворяют рекуррентным соотношениям

При для имеют место асимптотики

Выражения (2.12) справедливы также при любом фиксированном когда аргумент Если то

Для функции Бесселя при любых порядках и аргументах выполняется неравенство

Функции Ханкеля для с увеличением индекса монотонно возрастают по модулю

Для функций Макдональда справедливо неравенство

из которого следует, что

Для функций Ханкеля при справедливы асимптотические представления

Рис. 2.1.

В случае, когда зависимость от времени задается множителем условиям излучения знаком минус) удовлетворяют решения (2.4), (2.5) с и они представляют волну, уходящую на бесконечность.

Теоремы сложения для цилиндрических волновых функций выведены в работе [6]. Пусть имеются две различные полярные системы координат и (рис. 2.1), у которых полярные оси одинаково направлены. Координаты полюса в системе будут так что выполняется равенство

Тогда теоремы сложения имеют вид

Формулы (2.17) дают возможность преобразовать решение волнового уравнения из одной системы координат в другую.

Приведем формулы для определения перемещений и напряжений через трехмерном случае

(см. скан)

Если упругое тело находится в условиях плоской деформации, то напряженно-деформированное состояние определяется по формулам

(см. скан)

Подробные сведения о функциях кругового цилиндра и их свойствах изложены в монографии [6].