§ 2. Напряженное состояние бесконечной пластины с двумя отверстиями, загруженными гармоническим давлением

Рассмотрим бесконечную пластину с двумя одинаковыми круговыми отверстиями. На краях отверстий действует давление [8,9] (рис. 7.1). Если для задач, рассмотренных в предыдущем параграфе, положить и граничные условия выбрать в виде

то получим условие данной задачи. В этом случае для определения неизвестных используем систему (7.4), в которой а свободные члены принимают следующую форму:

Учитывая результаты предыдущего параграфа, систему (7.4) будем решать приближенно методом редукции, выделяя из бесконечной системы конечную такого порядка, чтобы достигалась необходимая точность.

Как видно из постановки, задача имеет симметрию относительно осей Поэтому систему можно упростить, введя соотношения между неизвестными

В такой же форме систему можно записать, если решение уравнений (1.12) представить в виде

(кликните для просмотра скана)

где учтена симметрия относительно оси

После нахождения неизвестных постоянных вычисляем потенциалы а затем по формулам (2.18) действительную и мнимую части перемещений и напряжений.

В данной задаче имеется два независимых параметра зависимость между волновыми числами выражается формулой . Напряжения и вычисляли для следующих параметров: и с шагом Чтобы достигнуть необходимую точность для в бесконечной системе удерживали девять уравнений, а для Для напряжения вычисляли на контуре отверстий через 18°. По перемычке напряжения определяли в шести равноотстоящих точках перемычки Физический смысл мнимой и действительной частей амплитуд, а также ее абсолютное значение описано в § 4 четвертой главы. Представленные результаты отнесены к величине внешней нагрузки Точность полученных результатов проверяли по выполнению граничных условий. Ошибка для всех полученных значений напряжений меньше 5%, причем в большинстве случаев она составляет доли процента.

На рис. 7.2 и 7.3 изображены зависимости амплитуды в точке от параметров Для проходит через максимум для всех значений превышая статическое значение на 18 — 20%. Затем амплитуда при некотором значении проходит еще раз через максимум, после чего резко убывает, принимая в дальнейшем колебательный характер. Для второй максимум не получен, в остальных случаях он меньше первого. Амплитуда стее, как функция сохраняет монотонный характер, присущий статике, только для длинных волн.

С уменьшением длины волны у этих кривых появляются стационарные точки. Как видно из рис. 7.3, относительное сближение отверстий не всегда приводит к увеличению напряжений.

На рис. 7.4 и 7.5 изображены зависимости амплитуды в точке О от параметров Для каждого расстояния существуют такие значения (длины волны), при которых принимает экстремальные значения и в пять—восемь раз превышает статические.

На рис. 7.6 показаны кривые для амплитуд напряжений в точках при Для остальных точек на перемычке (справа над символом напряжения показана точка перемычки). Из рис. 7.6 видно, как выравниваются напряжения при сближении отверстий.

(кликните для просмотра скана)

Рис. 7.7 — 7.9 иллюстрируют распределение по контуру отверстия при равном соответственно и различных значениях и Как видно из рис. всегда достигается в точке в точке с угловой координатой По этим графикам можно также проследить увеличение взаимовлияния отверстий с уменьшением расстояния между их центрами.

Замечание. В заключение обратимся еще раз к результатам, представленным на рис. 7.4 и 7.5. Зависимость в точке О от частоты (длины волны, волнового числа) напоминает амплитудно-частотную характеристику вблизи резонанса одномассовой колебательной системы с демпфированием, где амплитуда возрастает. Аналогичные явления для одной отражающей поверхности не наблюдаются. Обнаруженное явление характерно для задач с несколькими отражающими поверхностями и, учитывая изложенную аналогию, его можно назвать «местным резонансом», который, по-видимому, возникает в результате наложения отраженных волн несколькими отражающими поверхностями. Конечные значения напряжений получаются, вероятно, вследствие излучения энергии на бесконечность.

С инженерной точки зрения при расчете и конструировании элементов конструкций с несколькими отверстиями необходимо иметь в виду, что при динамических нагрузках концентрация напряжений не изменяется монотонно при сближении отверстий, как это имеет место в статике, а определяется более сложной зависимостью. Концентрация напряжений может даже уменьшаться при сближении отверстий. Поэтому при таких расчетах необходимо заранее учитывать возможные диапазоны частот, в которых будет работать конструкция.