§ 2. Сферическое включение. Плоская волна расширения
Если в упругую среду внедрено сферическое включение, которое является значительно более жестким, чем среда, то целесообразно рассматривать дифракцию волн на абсолютно
жесткой сфере. Поскольку окружающая среда является упругой, сфера может перемещаться в ней при взаимодействии с упругой волной. Обозначим через 
перемещение жесткой сферы в направлении распространения падающей волны (т. е. в направлении оси 
). Тогда граничные условия естественно выбрать в виде [124]
Здесь 
перемещения в падающей волне; 
— перемещения в поле отраженных волн. Поступательное перемещение 
определяется из уравнения движения Ньютона
где 
масса сферы, 
плотность материала включения, а интеграл берется по всей поверхности сферы и представляет силу, действующую на сферу со стороны окружающей среды. Подставляя (5.4), (5.5) в соотношение (5.8), получаем
где 
плотность среды.
Используя (5.9) и граничные условия (5.7) для определения постоянных 
получаем выражения для перемещений в упругой среде
и напряжения в виде формул (5.6). При этом постоянные 
в формулах (5.6), (5.10) имеют вид
и, кроме того,
Числовые результаты для жестких включений приведены в §4, где сравниваются с результатами для сфероидального включения.
В некоторых случаях пренебречь упругостью включения нельзя. Тогда необходимо ввести в рассмотрение рефракционные волны, т. е. волны, прошедшие во включение. Их потенциалы удовлетворяют волновым уравнениям, у которых волновые числа будут
Здесь 
постоянные Ляме для включения. Общее решение волновых уравнений для волн, распространяющихся во включении и ограниченных в начале координат, имеет вид
где 
постоянные, подлежащие определению.
Граничные условия на поверхности включения состоят в равенстве напряжений и перемещений включения и среды
Подставляя (5.4), (5.5), (5.11) в условия (5.12), получаем для каждого значения 
систему четырех алгебраических уравнений, служащих для определения постоянных 
которые в матричной форме имеют вид
Здесь 
Если сферическая полость заполнена идеальной сжимаемой жидкостью, то внутрь полости проходят лишь волны расширения. Граничные условия на поверхности полости таковы:
Тангенциальное перемещение 
упругой среды может быть отличным от тангенциального перемещения жидкости на граничной поверхности. Эта особенность обусловлена пренебрежением вязкостью жидкости.
Для решения задачи соотношения (5.4), (5.5) и первое из (5.11) подставляются в граничные условия (5.14). Окончательно напряжения и перемещения определяются по формулам (5.6), (5.10), в которых постоянные 
являются решением системы трех алгебраических уравнений
где 
В заключение отметим, что случай падающей плоской волны сдвига рассматривается аналогично.
