§ 7. Напряжения, возникающие при падении плоской волны сдвига или расширения на ряд полостей

Предположим, что в упругом теле, содержащем бесконечный ряд одинаковых круговых цилиндрических полостей радиуса перпендикулярно оси (см. рис. 7.17) распространяется плоская волна сдвига [18], вектор перемещений в которой параллелен оси (антиплоская деформация). В системе координат связанной с отверстием, перемещение ее может быть представлено в виде

Волновое поле в теле состоит из суммы полей падающей волны и поля отраженных волн. Считаем, что края отверстий свободны от напряжений, т. е. выполняются следующие условия:

Решение задачи для отраженного поля представлено в виде (7.31). В результате удовлетворения граничным условиям

Рис. 7,24.

Рис. 7.25.

Рис. 7.26.

приходим к системе (7.24). Поскольку волна падает на отверстия нормально линии центров, Функции имеют вид

Для приближенного решения система усекалась до конечной системы, соответствующей После нахождения

неизвестных напряжения вычислялись по формулам

В рассматриваемой задаче имеется два независимых параметра и которые при вычислениях изменялись в пределах: Напряжения, отнесенные к величине вычислялись в шести точках перемычки (см. рис. 7.17). Некоторые результаты показаны на рис. 7.24 — 7.26. На рис. 7.24 представлено изменение амплитуд вдоль перемычки. На графиках рис. 7.25 и 7.26 приведены напряжения в точке в точке О. На представленных графиках вблизи точек скольжения наблюдается значительное увеличение напряжений, как и в задачах, рассмотренных ранее.

В работе [20] решена задача дифракции плоской продольной волны, падающей нормально на ряд круговых отверстий в бесконечной пластине (обобщенное плоское напряженное состояние). На стенках отверстий полагаем заданными условия

После удовлетворения граничным условиям получаем систему (7.32), приближенное решение которой определялось из конечной системы, порядок которой Параметры изменялись в следующих пределах: Коэффициент Пуассона принимался равным 0,3. Результаты вычислений для некоторых значений параметров представлены на рис. 7.27 — 7.29. На рис. 7.27 и 7.28 сплошными кривыми изображены амплитуды напряжений , а штрихпунктирными — . Сплошные кривые на рис. 29 соответствуют напряжению в точке а штрихпунктирные в точке О.