§ 3. Жесткое круговое включение

Рассмотрим действие плоской гармонической волны сжатия, потенциал которой определяется формулой (4.5), на жесткое круговое включение, впаянное в тонкую упругую пластину. Для определения напряженно-деформированного состояния в пластине требуется определить решение уравнений (4.1) при соответствующих граничных условиях на поверхности ядра. Напряжения и перемещения выражаются через волновые функции посредством формул (3.71), общее решение уравнений (4.1) с учетом условий излучения — посредством формул (4.7). Можно рассмотреть два типа включений и соответствующих им граничных условий. Для фиксированного включения граничные условия состоят в том, что перемещения на его поверхности равны нулю [123]

Удовлетворив условиям (4.19), определим напряжения на границе включения (временной множитель опущен)

Здесь

Интегрируя по поверхности включения, можно определить результирующую силу, действующую в направлении оси

Из (4.21) следует, что для того, чтобы включение было неподвижным, к нему необходимо приложить силу, противоположную силе (4.21). Заметим также, что сила (4.21) определяется лишь составляющей ряда Фурье

Если включение может двигаться вместе с пластиной, граничные условия будут иметь вид [123]

где поступательное перемещение включения в направлении распространения падающей волны. Если плотность

включения, определяется из уравнения движения Ньютона

Подставляя сюда выражение для напряжений, получаем

где отношение плотности пластины к плотности включения.

Из (4.22), (4.23) определяются произвольные постоянные При они совпадают со значениями, полученными для фиксированного включения. В случае имеем

Тогда выражения для перемещений и напряжений на поверхности полости имеют вид

Из выражений (4.24), устремляя к нулю, получаем в пределе статическое двухосное напряженное состояние. Если

рассмотреть предельный случай для неподвижного ядра, описываемый формулами (4.20), получим, что для члена с предельное значение определяется следующими асимптотическими представлениями:

При указанные члены неограниченно возрастают и напряжения становятся бесконечно большими. Это связано с тем обстоятельством, что при таком предельном переходе внешняя сила, которая должна удерживать включение в неподвижном состоянии, становится неограниченно большой (см. формулу (4.21)).

При вычислениях, как и в предыдущих параграфах главы, напряжение на контуре ядра имеет вид

где вещественная часть напряжение в начале периода; мнимая часть напряжение спустя четверть периода; максимальное напряжение на интервале времени -фазовый угол.

На рис. 4.9 показано распределение напряжения по поверхности фиксированного включения для следующих значений основных параметров: Штрихпунктирной линией отмечена мнимая часть, штриховой — вещественная, сплошной — максимальное напряжение. Отметим, что напряжение здесь и ниже отнесено к интенсивности напряжений в падающей волне На рис. 4.10 представлено максимальное нормализованное напряжение вычисленное по формуле

для фиксированного включения в точках в зависимости от волнового числа и для различных значений коэффициента Пуассона. Для подвижного включения аналогичные графики построены на рис. 4.11.

Аналогично исследуется задача о действии плоской гармонической волны сдвига (4.13) на жесткое круговое включение произвольной плотности [67]. В этом случае включение, если оно не зафиксировано в пространстве, будет перемещаться и поворачиваться вместе с окружающей средой. Результирующие

(кликните для просмотра скана)

силы и крутящий момент, действующие на включение, выражаются формулами

Если в соотношения (4.25) подставить выражение для напряжений и воспользоваться ортогональностью тригонометрических функций, нетрудно убедиться, что зависит только от члена с зависит только от члена с Перемещение жесткого включения и поворот могут быть определены из закона Ньютона

Смещения на границе включения выражаются формулами

С помощью соотношений (4.27) можно определить произвольные постоянные в общем решении (4.16). В результате выражения для напряжений на контуре включения примут вид

Здесь

Рис. 4.12.

Рис. 4.13.

На рис. 4.12, 4.13 представлены напряжения и в контуре включения в зависимости от волнового числа при для различных значений Очевидно, что отношение плотностей оказывает большое влияние на напряженно-деформированное состояние в пластине. По мере возрастания плотности включения (особенно начиная со значения и ниже) максимальные величины напряжения, а также поступательного смещения и поворота [67] возрастают. Например, при максимальные динамические напряжения соответственно на больше своих значений в статическом случае.