§ 3. Напряжения в теле с двумя полостями при падении плоской волны расширения

Предположим, что в пластине в направлении оси распространяется плоская монохроматическая упругая волна, задаваемая потенциалом [10]

Результирующее поле определяется суммой потенциалов

Настоящая задача для отраженного поля является частным случаем задач, рассмотренных в § 1 настоящей главы. Величину полагаем равной , а угол . В результате удовлетворения граничным условиям (считаем, что отверстия свободны от напряжений, поэтому заданы условия (4.2)) приходим к

Рис. 7.11.

Рис. 7.10.

Рис. 7.12.

Рис. 7.13.

бесконечной системе (7.4), в которой Свободные члены системы (7.4) имеют вид

Учитывая симметрию задачи относительно для неизвестных постоянных получаем следующие соотношения:

Представляя решение через тригонометрические функции, приходим к двум бесконечным системам, аналогичным (7.4). Каждая из этих систем при усечении имеет порядок в два раза меньший, чем система (7.4), что может оказаться полезным при вычислениях.

Рис. 7.14.

Рис. 7.15.

Для тех же параметров, что и в предыдущем параграфе, и в тех же точках получены количественные результаты. Вычисленные напряжения отнесены к амплитуде

На рис. 7.10 — 7.12 представлены графики изменения амплитуды напряжения в точках как функции от Характерной особенностью этих графиков является то, что для всех значений принимает максимальное значение практически при одних и тех же . С увеличением в точках убывает, приобретая волнообразный характер.

На рис. 7.13 и 7.14 показаны зависимости амплитуды напряжений от расстояния между отверстиями. Значения напряжений даны в точке (рис. 7.13) и в точках для (рис. 7.14).

Для распределения напряжений между отверстиями характерны следующие особенности: при фиксированном расстоянии между отверстиями распределение существенно зависит от преобладающими по амплитуде напряжениями по перемычке являются напряжения хотя при некоторых значениях параметров может быть более высоким; в большинстве случаев достигает максимального значения в точке распределение напряжений в течение периода существенно меняется не только количественно, но и качественно.

Эта же задача в работе [98] решена методом многократных отражений, и проведено исследование напряженного состояния на краях отверстий в пластине для различных углов падения волны, расстояний между отверстиями и волновых чисел. Для коэффициента Пуассона принято На рис. 7.15 показано распределение напряжений отнесенных к при для волновых чисел (левая часть рисунка) и (правая часть) в случае распространения волны параллельно линии отверстий.

Как показано в работе [96], метод многократных отражений является частным случаем метода, изложенного в § 2 третьей главы, и сводится к методу последовательных приближений при решении бесконечных систем, полученных в § 2 третьей главы.

Аналогичные задачи дифракции упругих волн на одном круговом препятствии и на препятствии некругового поперечного сечения были рассмотрены в четвертой главе.