§ 8. Напряжения, возникающие при падении плоской волны сдвига на ряд включений

Предположим, что упругое тело содержит бесконечный ряд круговых включений, по своим механическим свойствам отличающихся от тела. В теле под углом у к линии центров включений распространяется плоская SH-волна (антиплоская деформация). Для определения отраженного поля в теле необходимо найти решение уравнения

а для поля во включениях — уравнения

(кликните для просмотра скана)

В местах контакта включений (волокон) и тела необходимо удовлетворить условиям контакта

где перемещение в падающей волне; модули сдвига соответственно матрицы и волокон.

Представляя решение уравнения (7.39) в форме а уравнений (7.40) в виде (7.19) и удовлетворяя условиям контакта (7.41), приходим к бесконечной системе алгебраических уравнений относительно неизвестных постоянных

Величины получаются из заменой в них функций на . В системе (7.42) на основе условий периодичности произведена замена

Ряды (7.43) сходятся, если

Исключив неизвестные приводим систему к каноническому виду

Величины получаются заменой на

Используя асимптотики цилиндрических функций (2.11), (2.12) при больших индексах, приходим к оценке

Последнее неравенство позволяет оценить ряд

Полученный ряд сходится, так как Следовательно, определитель системы (7.45) является определителем нормального типа. В силу сходимости последовательности свободных членов приближенное решение системы получается с помощью метода редукции, если выполняется условие (7.44).

Количественные результаты приведены для случая нормального падения волны на включения Максимальное число уравнений в усеченной системе Вычисления выполнены в шести равноотстоящих точках для параметров в точках контура — Точность вычислений проверялась сравнением результатов различных приближений. По напряжениям максимальная относительная разность результатов при для составила 1,7%.

На рис. 7.30 — 7.34 показаны некоторые из полученных результатов. Величина перемычки выбрана отношение кривые 1 соответствуют задаче для ряда полостей, кривые 5 — задаче для фиксированных в пространстве абсолютно жестких включений. Результаты для отношений модулей сдвига иллюстрируются кривыми соответственно Параметры близки к параметрам некоторых стеклопластиков. В представленных результатах напряжения отнесены к На рис. 7.30 и 7.31 приведены амплитуды напряжений в точке пересечения перемычки и контура. На рис. 7.32 и 7.33 представлено распределение в матрице на линии соединения матрицы и включения при Изменение максимальных на линии контакта напряжений с изменением (сплошные кривые соответствуют штриховые — показано на рис. 7.34.

Внутри матрицы для всех модулей сдвига наблюдается значительный рост возле первой точки скольжения Возле второй точки скольжения лишь для отверстий и малых отношений происходит увеличение Дополнительное возрастание напряжений вдали от точек скольжения для кривых 2 объясняется, по-видимому, резонансными явлениями в волокнах.

На контуре максимальные напряжения при для наблюдаются, когда а для при . С увеличением частоты точки наибольших напряжений сдвигаются

Рис. 7.30.

Рис. 7.31,

Рис. 7.34.

Рис. 7.33.

Рис. 7.32.

для в сторону больших отрицательных , для При прохождении точек скольжения количество экстремальных значений напряжений на линии контакта увеличивается.

По перемычке напряжения распределены в большинстве случаев монотонно. Для наибольшие значения появляются в средине перемычки и в центре включения и уменьшаются к линии контакта.

В заключение отметим, что для максимальные на контуре превышают и тем больше, чем больше отношение При этом наблюдается увеличение Особенно значительный рост происходит около точек скольжения.