§ 5. Дифракция волн сдвига на эллиптических цилиндрах в полупространстве

Рассмотрим упругое тело, занимающее полупространство эллиптическими полостями, продольные оси которых параллельны координатной оси [19]. Полагаем, что на

Рис. 9.17.

поверхностях полостей (рис. 9.17) выполняются следующие условия:

а плоская граница полупространства свободна от напряжений

В (9.31) - задаваемые действительные постоянные; нормаль в точке контура

Введем вспомогательных систем координат так, чтобы начала и зеркально отражались в плоскости Наряду с координатами используем эллиптические координаты связанные с прямоугольными соотношениями

Решение задачи представим в виде

Необходимо определить постоянные и так, чтобы выполнялось условие (9.32). Производная по в координатах эллиптического цилиндра имеет вид

Учитывая, что на линии выполняется условие а также свойства периодических функций Матье

приходим к равенствам

В случае выполнения равенств (9.36) всегда будет выполняться условие (9.32).

Чтобы удовлетворить условиям на полостях, решение (9.34) с помощью теоремы сложения (2.30) перепишем в координатах

В (9.37) через обозначены следующие выражения:

Учитывая условия на контуре а также полноту и ортогональность системы угловых функций Матье, после удовлетворения условиям (9.31) приходим к бесконечной системе уравнений

где

Выражения получаются соответственно из и при замене на на . С помощью соотношений (9.36) из системы (9.38) можно исключить неизвестные постоянные . В результате получим замкнутую систему уравнений с неизвестными

Заменив неизвестные по формулам преобразуем систему (9.38) к каноническому виду

Проводя исследования гак же, как и в работе [50], можно доказать, что система (9.40) имеет нормальный определитель. Следовательно, и в задаче дифракции волны сдвига на

ческих цилиндрах бесконечная система имеет те же свойства, что и в задаче для круговых цилиндров.

Применяемый в настоящей главе метод изображений дает возможность также получить решение задач дифракции волн сдвига на эллиптических цилиндрах в слое, полуслое и угловой области.