§ 4. Круговая полость, подкрепленная оболочкой

Рассмотрим случай, когда край отверстия в упругой среде подкреплен упругой линией (оболочкой) [106], а плоская ступенчатая волна, как и ранее, имеет волновой фронт, параллельный оси оболочки (см. рис. 11.6).

Перемещения оболочки представим через обобщенные координаты (формы колебаний оболочек в вакууме)

Здесь координаты характеризуют преимущественно нерастяжимые формы колебаний оболочек, координаты преимущественно растяжимые формы. Коэффициенты задаются формулой

где I — момент инерции поперечного сечения оболочки

относительно оси, ортогональной плоскости сечения; А — площадь поперечного сечения.

Для оболочки, у которой и изгиб и растяжение взаимодействуют слабо; для этого случая и частоты колебаний определяются формулами

Здесь погонная масса оболочки.

Пусть оболочка находится под действием радиальной и тангенциальной сил, которые можно представить рядом Фурье

Уравнения движения оболочки могут быть записаны через обобщенные координаты

Здесь

Из соотношений (11.52), (11.53) нетрудно выразить коэффициенты рядов (11.51) через обобщенные координаты:

Для того чтобы определить радиальные и тангенциальные перемещения оболочки, обусловленные действием поля падающей и отраженной волн, необходимо определить радиальную и тангенциальную силы Эти силы определяются из условий равенства радиальных и тангенциальных перемещений оболочки и среды. При этом для каждой формы колебаний сумма радиальных перемещений, обусловленных 1) действием падающей волны на свободное отверстие 2) приложенными граничными напряжениями 3) приложенными

граничными напряжениями должна быть равна радиальному перемещению оболочки, обусловленному силами Аналогичное условие формулируется и для тангенциального перемещения.

Радиальные и тангенциальные компоненты перемещений, произведенные граничными напряжениями случая 2, могут быть определены через перемещения введенные в конце предыдущего параграфа, посредством интегралов Дюамеля

Аналогично вычисляются перемещения в случае 3:

Используя (11.55), (11.56), условия совместности на границе оболочка — среда запишем для каждой формы радиального и тангенциального перемещения

Подставляя выражение (11.54) в формулы (11.57) и используя

Рис. 11.16.

Рис. 11.17.

Рис. 11.18.

Рис. 11.18.

начальные условия получаем тегральиые уравнения для определения

Для случая имеем

Уравнения (11.58), (11.59) решаются численно. Производные по времени при этом заменяются конечными разностями.

Приведенные числовые результаты получены для двух подкрепляющих оболочек: гибкой стальной (А — толщина оболочки, К — радиус инерции поперечного сечения) и очень жесткой Упругая среда имитирует скальные гранитные породы. Коэффициент Пуассона для оболочки и для среды равен 1/4. Модуль упругости материала оболочки в 3,3 раза выше, чем среды. Ниже на рисунках индексом «0» отмечены результаты, полученные для полости. На рис. 11.16 показана нулевая форма колебаний как функция безразмерного времени — на рис. 11.17, 11.18 - Форма описывает главную часть движения оболочки, в которой происходит перенос ее в направлении распространения волны. Изменение жесткости оболочки практически не сказывается на ее поступательном перемещении.

На рис. 11.19 представлено кольцевое напряжение на поверхности более гибкой оболочки в точках полученное с учетом форм Там же показаны